CHAPITRE II

i I- Angles.

29. Ai'cs de cercles. — Construisons dans le plan un cercle de rayon égal à Tunité {flg. 7) et fixons sur ce cercle un sens de déplacement positif, par exemple le sens inverse du mouvement des aiguilles d'une montre. Si un mobile se déplace sur ce cercle, toujours dans le même sens, pour aller de A en B, on dit que le mobile décrit un arc de cercle ; le point de départ A est V origine de l'arc ; ''^' '' le point d'arrivée B en est Vextrémité.

A cet arc on fait correspondre un nombre algébrique, ayant pour valeur absolue la longueur du chemin parcouru ; ce nombre sera positif si le mobile s'est déplacé dans le sens positif, et négatif dans le cas contraire.

Supposons que le mobile, partant de A, se déplace dans le sens positif; il arrivera une première fois au point B après avoir parcouru un arc a moindre qu'une circonférence ; s'il continue son chemin, il reviendra au point B, après avoir parcouru une circonférence de plus, en tout un arc égal à a h- Stt ; à son troisième passage au point B, il aura décrit un arc égal à a H- 4ti:, etc. . . On obtient une série d'arcs positifs compris dans

la formule a + '^kK, k étant un nombre entier positif ou nul.

Si le mobile se déplace dans le sens négatif, il arrivera une première fois au point B, après avoir parcouru un chemin 271 — a ; une seconde fois après avoir parcouru un chemin 47r — a, etc. . . Les valeurs algébriques des ares correspondants sont a — 27:, a — Atz, etc... ; elles sont comprises dans la formule générale a — 2A;7t.

Les diverses valeurs de l'arc AB sont donc toutes comprises dans la formule générale

arc AB = a + '^kr., k étant un nombre entier, positif, négatif ou nul.

30. Relation de Ghasles. — Si A, B, C sont trois points quelconques du cercle, on a

arcAG = arcAB -f- arcBG + SXtt, X étant un nombre entier positifs négatif ou nul.

Soient a, p, y les valeurs positives, moindres que 211:, des arcs AB, BG, AG. On a

arcBG = p^^k'r., arcAC - Y+2r7r.

Deux cas peuvent se présenter :

1° Quand on part de A (fig. 8) en se déplaçant dans le sens positif, on rencontre le point B avant le point G.

On a évidemment dans ce cas

et, en tenant compte des relations (1), arc AG = arc AB + arc BG + 2(/«" — k — k'jTz. 2° Quand on part de A (^fig. 9) en se déplaçant dans le sens positif, on rencontre le point C avant le point B .

On a évidemment dans ce cas

a = Y + (27r— P), OU

Fig. 9.

arcAG = arcAB

Y = a + et par conséquent -4- arc BG + 2(F — k'

k—iy.