CHAPITRE III
THEOREME D'EULER
527. Dans tout ce qui va suivre, nous ne considérerons que des polygones qui n'ont pas de points de croisement. Nous considérerons les sommes de polygones qui ont été définies au numéro 518; une coupure effectuée sur cette somme est une coupure effectuée sur l'un des polygones (ol9). Cela posé, nous avons le théorème suivant :
528. Théorème. — Si l'on décompose un polygone d'une manière quelconque en une somme de i^olygones et si Von désigne par F le nombre des polygones qui composent la somme, par S le nombre des sommets de la figure, par A le nombre des arêtes
de cette (igure, on a
Nous allons montrer d'abord que si l'on fait un coupure dans un polygone de la somme, l'expression
Fh-S — A ue change pas.
Désignons par n le nombre des côtés qui composent la coupure ; nous distinguerons trois cas.
1° La coupure part d'un sommet pour aboutir à un sommet.
Prenons comme exemple la coupure a^yS (fig. 272). Le nombre F augmente de 1 ; S augmente de n — 1, car il ne faut pas compter dans l'accroissement les sommets a et S ; A augmente
THÉORÈME d'eULER
de n, savoir: les n côtés de la coupure. Donc F-t- S — A ne change pas. ,
2° La coupure va d'un sommet à un point du périmètre qui n'est pas sommet {Exemple : la coupure SeXtj., fig. 272). Le nombre F
augmente toujours de i ; S de n, car il ne faut pas compter le sommet 0 dans l'accroissement, mais il faut compter le sommet ix ; A augmente de w -t- 1 , savoir : les n côlés de la coupure et une augmentation d'une unité qui provient de ce fait que le côté AB formait avant une seule arête, tandis que maintenant il en forme deux : les arêtes A^i et B[ji. {fig.T]\). Donc F+ S — A ne change pas,
3° La coupure va d'un point du périmètre qui n'est pas sommet à un autre point du périmètre qui n'est pas sommet (Exemple : la coupure pay^, fig. 272).
La démonstration se fait de la même façon, en remarquant que pH et pG d'une part, («G et wD d'autre part doivent être considérées comme des arêtes distinctes.
Cela posé, si l'on considère une décomposition quelconque du polygone P, on pourra aboutir à cette décomposition en partant du polygone P et en faisant un certain nombre de coupures successives. Pour l'ensemble des polygones qui composent le
polygone P, l'expression
a donc même valeur que pour le polygone P lui-même. Or si
l'on désigne par p le nombre des côtés du polygone P, on a
pour ce polygone
et par conséquent,
Donc, pour l'ensemble des polygones dont la somme forme le
polygone P, on a
529. Remarque. — Soit Q un polygone intérieur à un polygone P. Considérons la région formée par l'ensemble des points qui sont à la fois intérieurs au polygone P et extérieurs au polygone Q ; si l'on décompose d'une manière quelconque cette région en une somme de polygones, on aura
En eflTet, pour ramener ce cas au précédent, il suffit d'ajouter à l'ensemble des polygones le polygone Q ; on a ainsi une décomposition du polygone P. Pour passer de la première décomposition à la seconde, il faut augmenter F d'une unité, sans changer S et A ; ce qui montre bien l'exactitude de la formule annoncée pour la première décomposition.
530. Théorème d'Euler. — Si ¥ est le nombre des faces, S celui des sommets, A celui des arêtes d'un polyèdre convexe, on a
F-hS = A-i-2.
Ce théorème existe, non seulement pour les polyèdres convexes, mais pour tous les polyèdres qui possèdent la propriété suivante :
La représentation conforme se compose de deux parties, chacune de ces parties étant formée par l'ensemble des polygones dont la somme est un même polygone P.
On dit encore, pour abréger, que, dans ce cas, la représentation conforme recouvre deux fois la région intérieure au polygone P.
Démontrons d'abord que tout polyèdre convexe possède la propriété indiquée,
En effet, faisons une représentation conforme du polyèdre par une projection centrale, le centre S de cette projection étant extérieur au polyèdre. Le contour apparent du polyèdre vu du point S sépare la surface polyédrale en deux parties [562]
THÉORÈME d'eULER 407
et si P est le polygone qui est la projection du contour apparent, chacune des parties [562] se projette suivant une somme de polygones dont la somme est P.
Cela posé, considérons un polyèdre possédant la propriété indiquée. Soient Fi, Si, Ai les nombres de faces, sommets, et arêtes de la première partie, Fa, S2, Ao les nombres analogues pour la seconde partie. On aura
Fi-f-Si = Ai+1,
F,4-S2 =A2-Fl; d'oîi, en ajoutant^
(Fi-hF2)4-(Si-hS2) = (Ai+A2) + 2.
Mais si p est le nombre des côtés du polygone P, on a
F = Fi -h F,,
S = Si -h S2 — p,
A = Ai-f-Aa — p; donc
531. Remarque I. — Le théorème du n° 528, sur lequel repose en somme le théorème d'Euler, ne suppose pas que deux polygones voisins qui composent la somme du polygone n'aient qu'une seule arête commune. Cette remarque permettrait d'étendre le théorème d'Euler, en décomposant la surface polyédrale, non plus en ses faces, mais en groupes de plusieurs faces ; les faces de chaque groupe étant limitées par un contour fermé ; on supprime, bien entendu, les arêtes et les sommets qui ne sont pas situés sur la limite des groupes. Nous nous bornons sur ce sujet à indiquer le résultat et la marche de la démonstration.
532. Remarque II. — Si l'on considère un polyèdre dont une représentation conforme recouvre deux fois la région comprise entre un polygone P et un polygone intérieur Q, on aura (529)
533. Désignons par f^ le nombre des faces qui ont p côtés, par s^ le nombre des sommets d'où partent p arêtes ; on aura d'abord la relation d'Euler
(1) . Fh- S = A-h2.
On aura ensuite
(3) S = S3 -I-54-I-S5 H- ■•• +5pH ;
puis, en remarquant que chaque arête passe par deux sommets ou bien appartient à deux faces,
(4) 2A = 3/"3 4-4A + 5/"„H ^pf,+ ...,
(5) 2A = 3s3 + 4*4 4- 55g H h psp H
534. Multiplions les deux termes de la relation (1) par 4 et remplaçons au premier membre F et S par leurs valeurs (2) et (3) et au second membre 4A par la somme des seconds membres des valeurs (4) et (5) ; on aura
Ph
d'où l'on conclut que : 7'out polyèdre convexe a au moins une face triangulaire ou un angle trièdre.
535. Multiplions les deux membres de la relation (1) par 6 et remplaçons au second membre 6A par 2 fois le second membre de la valeur (4) plus une fois le second membre de la valeur (5) ; on aura
6(A + Ah h /;+•••) + 6(53 H- s, M h Si.-H---)
= 12-4-2[3/'3 4-4/'4H V-pf,^---]
-h(3s3 4-4s4H -Hps^H ).
^Sh-SA
•■-^Pfp
et après avoir simplifié
fz -+- h =
--8-hiU-
^){fp-^s^)
THÉORÈME d'eULER 409
Après simplification, il vient
3*3 -^ 254 -t- s, = 12-f-s, H h (jt? — 6).<?^ H \-^f,
On trouverait de même
Donc on a
3s3H-2s^H-S5 ^ 12 et ' .
De ces inégalités on déduit que : Dans un polyèdre convexe, il y a toujours : 1° une face dont le nombre de côtés ne surpasse pas ^ ; 2° un angle polyèdre dont le nombre des arêtes ne surpasse pas 5.
536. Théorème. — La somme des angles de toutes les faces d'un polyèdre convexe est égale à autant de fois quatre angles droits qu'il y a de sommets moins deux.
En effet, soient 7?i, «2, . . . , n^ les nombres de côtés des diverses faces ; la somme des angles de ces faces est
(2ni — 4) + (2/?2 — 4) ^ • • • -^ (2np — 4).
La somme ni -\- n^ -^ ■ ■ ■ -\- n^ est égale à 2A ; la somme
des angles est donc
ce qui, à cause de la relation d'Euler, est égal à
537. Théorème. — // ne peut y avoir plus de cinq espèces de polyèdres convexes dont toutes les faces ont le même nombre de côtés et tous les angles polyèdres le même nombre d'arêtes.
Soient n le nombre des côtés de chaque face, p le nombre d'arêtes de chaque angle polyèdre; on aura
2A -= nF = pS, et la relation d'Euler,
En y remplaçant A et S par leurs valeurs, on trouve
2(nH-p) — np
Nous savons déjà (534) que n ne peut prendre que les valeurs 3, 4 ou 5.
1° Si n = 3, on aura
Donnons à p les valeurs 3, 4 ou 5; on trouve : pour p = 3, F = 4;
2° Si n = 4, on aura
On ne peut donner à p que la valeur 3 et l'on trouve F = 6. 3° Si n = 5, on a
On ne peut encore donner à p que la valeur 3, qui donne F = 12
On calcule facilement dans chacun des cas que nous venons d'examiner les valeurs des nombres A et S.
Les polyèdres cherchés ne peuvent donc qu'appartenir aux cinq types du tableau suivant :
