CHAPITRE IV
POLYEDRES RÉGULIERS CONVEXES
538. Un polyèdre est régulier lorsque toutes ses faces sont des polygones réguliers égaux et que tous ses angles polyèdres sont égaux.
D'après le paragraphe précédent, il ne peut exister que cinq espèces de polyèdres réguliers. Nous allons prouver que ces cinq espèces existent en montrant comment on peut effectuer leur construction.
La construction du tétraèdre régulier ne présente aucune difficulté.
L'hexaèdre régulier est le cube ; on sait le construire.
539. Construclion de l'octaèdre régulier. — Pour construire un octaèdre régulier, on prend un polyèdre qui a pour sommet les centres des faces d'un cube. Les sommets qui forment une même face de l'octaèdre sont ceux qui correspondent aux faces du cube qui ont un sommet commun ; toutes les faces de ce polyèdre sont donc des triangles équilatéraux égaux. Les arêtes qui passent par un même sommet sont celles qui joignent ce sommet aux centres des faces du cube adjacentes à celle où est placé le sommet; tous les angles polyèdres seront donc des angles polyèdres à quatre faces égaux. Ce polyèdre est bien, convexe^ car le plan d'une face laisse évidemment tous les sommets d'un même côté.
On peut encore dire : pour construire un octaèdre, on prend un carré ABGD; par le centre 0 de ce carré on élève une perpendiculaire à son plan sur laquelle on porte des longueurs OS, OS' égales au rayon du cercle circonscrit au carré. Le polyèdre SABGDS' est un octaèdre régulier.
540. Construction du dodécaèdre régulier. — Considérons un pentagone ABGDE décentre 0 {fig. 273); au point A je mène, au-dessus du plan, une droite ka telle que le trièdre A^ BEa
ait tous ses angles égaux à l'angle du pentagone ; je mène de même les droites B6, Ce, ...,Ee. Deux droites consécutives, Xa, B6 par exemple, sont dans un même plan, car les trièdres qui ont pour sommets A et B étant égaux, les dièdres de ces trièdres qui ont pour arête AB sont égaux ; donc ka et B6 sont dans un même plan. Plaçons dans ce plan un pentagone régulier de côté AB ; deux de ses sommets a et b seront sur les
droites Aa, B6 ; l'autre sommet a serait sur la perpendiculaire élevée au côté AB en son milieu. Faisons la même construction avec les autres côtés du pentagone ABGDE ; nous entourons ainsi ce pentagone de cinq pentagones égaux. Ces pentagones ont deux espèces de sommets : les sommets a, b, c, d, e situés sur les arêtes issues des points A, B, G, D, E et les autres sommets a, p, Ys ^î ^- Par raison de symétrie, les cinq points a, b, c, d, e sont dans un même plan P parallèle au plan ABGDE, la figure abcde est un pentagone régulier dont le côté ab est égal à la diagonale du pentagone donné.
De même, les cinq points a, S, y. ^} ^ sont sur un même plan Q parallèle au plan ABGDE. Geplan Q est bien distinct du plan P, car la distance du point a au plan ABCDE est plus grande que la distance des points de la droite ab à ce même plan. Les cinq points a ,p, y, o, e formeront encore un pentagone régulier; de plus, les deux figures 6Bap et BôAc étant égales, le côté «[3 est encore égal à la diagonale du pentagone donné.
Celaposé, construisons une figure A'B'G'D',E'a'6'c'cJVa'P' ..., égale à la précédente; sur la perpendiculaire menée en 0 au
plan du pentagone donné, menons une perpendiculaire sur laquelle nous prendrons une longueur 00' {fig. 274) égale à la somme des distances des plans P et Q au plan du pentagone ABGDE ; par ce point 0' menons un plan H perpendiculaire à 00'. Dans ce plan H, plaçons le 0 A pentagone A'B'G'D'E' de façon
Fig. 274. que son centre soit en 0' et que
les points a', b', c', . . , a', p', . . . soient au-dessous du plan H. Les points a', h', c',d\e' viendront dans le plan Q; les points a', p', f. S', e' dans le plan P. Par une rotation autour de la droite 00' on pourra donc amener a' en a; p', y', 8', e' viendront respectivement en e, d, c,b', les points a', b', c', d', e' viendront en a, s, 8, y, p.
aa'
L'ensemble des deux figures forme alors le dodécaèdre régulier.
541. Construction de ricosaèdre régulier. — L'icosaèdre régulier se déduit du dodécaèdre régulier, comme l'octaèdre se déduit du cube.
542. Théorème. — Tout 'polyèdre régulier est inscriptible et circonscriptible à la sphère.
En effet, soient AB {fig. 275) une arête du polyèdre, 0 et 0' les centres des faces qui contiennent cette arête, K le milieu de la droite AB. Les droites KO, KO' sont perpendiculaires à la droite AB ; par conséquent les perpendiculaires aux faces menées par les points 0 et 0' se rencontrent en un point S situé dans le plan OO'K. Quelles que soient les deux faces choisies, le triangle SOK conserve une forme invariable, car le côté OK a toujours la même longueur et l'angle OKS, qui est la moitié Fig. 275. • du dièdre AB, conserve aussi la même
valeur; il en résulte que le côté SO conserve la même grandeur. Par conséquent, si l'on prend une autre face adjacente à la face qui contient l'un des points 0 ou 0', la perpendiculaire menée au centre de cette face passera encore par le point S; comme on peut, de proche en proche, passer par des faces adjacentes de la face qui contient le point 0 à une face quelconque, on voit que les perpendiculaires menées aux centres des faces concourent en un même point S.
Les distances SO, SO', . . ., etc., étant toutes égales, la sphère qui a pour centre S et pour rayon SO est tangente à toutes les faces du polyèdre; donc le polyèdre est circonscriptible à une sphère.
Soient A un sommet, 0 le centre d'une face passant par A. Tous les triangles rectangles tels que SOA conservent une forme invariable, car les côtés SO et OA conservent la même grandeur ;
la sphère qui a pour centre S et pour rayon SA passera par tous les sommets; donc le polyèdre est inscriptible à une sphère.
Le centre commun S de la sphère inscrite et de la sphère circonscrite au polyèdre est le centre du polyèdre régulier,
543. Théorème. — ■ Les centres des faces d'un polyèdre régulier sont les sommets d'un autre polyèdre régulier.
Il n'y a qu'à appliquer le mode de démonstration qui nous a permis de déduire l'octaèdre du cube; on verrait de même que le cube se déduit par la même méthode de l'octaèdre.
En appliquant cette méthode au dodécaèdre, nous avons obtenu l'icosaèdre; inversement, en l'appliquant à l'icosaèdre, on obtiendrait un dodécaèdre.
Enfin, si on l'applique à un tétraèdre, on obtient un autre tétraèdre.
544. Problème. — Calculer l'angle dièdre I d'un polyèdre régulier.
Nous résoudrons d'abord le problème suivant :
Etant donnée une pyramide régulière SABG . . . dont la base a p côtés et dont l'angle de deux arêtes consécutives SA, SB, issues du sommet S, est a, calculer l'angle dièdre SA {fig. 276).
Soient 0 le centre de la base, AB et AG deux côtés consécutifs de cette base; des points B et G abaissons des perpendiculaires sur l'arête SA; elles rencontrent l'arête SA en un même point I, et l'angle BIG est l'angle plan qui mesure le dièdre SA. Gela posé, on a
AB = SSAXsin-^-
Mais, puisque la base a p côtés, l'angle AOB est égal à
donc
AB = 20A sin — ; P
de ces
deux
égalités
on déduit
OA=SAx
sin
sin
Considérons maintenant le triangle BIC. On a d'abord
(2) BI = IG = SAxsina;
d'autre part, l'angle BOG étant égal à — ^ on a
BG = 20A X sin —,
ou, en remplaçant OA par sa valeur, fournie par la formule (1),
(3) BG = 2SAX ^xsin— •
sm —
Mais dans le triangle BIG, on a
BG = 2BIxsin— ,
ou, en remplaçant BI par sa valeur (2), (4) BG=: SSAXsinaxsin — •
La comparaison des formules (3) et (4) donne . ' . I '™¥ . 2.
d'où
sm a X sm —
Sin —
X sm — j P
sm —
sin — P sin a
cos —
