BF = BE

Supposons maintenant que la parallèle à OA soit quelconque, elle coupe les rayons OB, OC, OD respectivement en B', E', F'. On a évidemment

BË ~ W

donc B'E' = B'F'.

37. Théorème. — Le segment déterminé sur une transversale quelconque par deux rayons conjugués d'un faisceau harmonique est divisé harmoniquement par celui qui est déterminé sur la même transversale par les deux autres rayons.

Coupons le faisceau harmonique (O.ABCD)(^^. 12) par une sécante quelconque ; cette sécante rencontre les rayons OA, OB,

OC, OD respectivement en A', B', C, D'; menons par B' une parallèle à OA', cette parallèle rencontre OC et OD en E' et F' : le point B' sera le milieu de E'F' (36).

Cela posé, les triangles semblables B'D'F' et A'D'O donnent la relation D'B' B'F' DT' ~ YÔ' Des triangles semblables C'B'E' et C'A'O, on déduit C^B' b;e'

GÉOxMÉTRIE DES FAISCEAUX DE DROITES

B'E' étant égal à B'F', il en résulte que les deux rapports

lYR' P'R'

T^TT, 6t rr-- ont même valeur absolue; donc C et 0' divi- D'A' C'A

sent harmoniquement A'B'.

38. Remarque I. — Il résulte de la démonstration qui précède que, dans un triangle quelconque OE'F' {fig. 12), la médiane OB' et la parallèle OA' menée par le sommet 0 à la base forment un faisceau harmonique avec les côtés OE', OF' du triangle.

39. Remarque II. — Les bissectrices des angles formés par deux droites qui se coupent forment avec ces droites un faisceau harmonique. En effet, si Ton coupe les deux droites OA et OB (fig. 13) par une parallèle AB à la bissectrice OD, l'autre bissectrice OC est la médiane du triangle OAB.

Fig. 13.

Faisceaux homographiques.

40. Définition. — Un faisceau est formé de droites passant par un point fixe; ce point fixe est le centre du faisceau; une droite passant par le point fixe est un rayon du faisceau.

Parle centre 0 du faisceau, menons un rayon origine Ox (fig. 14); un rayon X quelconque OL sera défini sans ambiguïté si l'on connaît la tangente de l'angle a;OL. Cette tangente est le coe^- Fig. 14. cient angulaire du rayon L.