Faisceaux homographiques. — La correspondance entre

deux faisceaux 0 et 0' [fîg. 18) est dite homographique si les points M et M' où deux rayons correspondants rencontrent une même transversale R décrivent des divisions homographiques.

Coupons le premier faisceau par une transversale T et le second par une transversale T';

Fis 18

soient N et N' les points oii deux rayons correspondants rencontrent respectivement T et T'; je dis que les points N et N' décrivent des divisions homographiques.

En effet, les points N et M décrivent des divisions homographiques (44) ; il en est de même des points N' et M'. Par hypothèse les divisions décrites par M et M' sont homographiques; or deux divisions homographiques d'une troisième sont homographiques (20) ; donc les points N et N' se correspondent homographiquement.

47. Des propriétés établies pour les divisions on déduit immédiatement les propriétés suivantes des faisceaux homographiques :

Dans deux faisceaux homographiques , le rapport anharmoniquede quatre rayons du premier faisceau est égal au rapport anharmonique des quatre rayons correspondants du second faispeau (17).

Réciproquement, si deux faisceaux se correspondent de telle sorte que le rapport anharmonique de quatre rayons quelconques du premier faisceau soit égal au rapport anharmonique des rayons correspondants du second, la correspondance entre les deux faisceaux est homographique (18).

Trois couples de rayons homologues déterminent deux faisceaux homographiques (19).

48 . Faisceaux homographiques de même sommet. — Quand deux faisceaux homographiques ont le même sommet, on appelle rayon double un rayon qui coïncide avec son homologue. Il est clair que si l'on coupe ces faisceaux par une même transversale T, le point d'intersection d'un rayon double avec T est un point double des divisions homographiques déterminées par les faisceaux sur cette transversale et inversement ; donc :

Deux faisceaux homographiques de même centre ont deux, un ou zéro rayons doubles (21).

Le rapport anharmonique des deux rayons doubles et de deux rayons correspondants quelconques est constant (22).

49. Théorème. — Quand un angle de grandeur constante tourne autour de son sommet^ les deux côtés de cet angle engendrent des faisceaux homographiques .

En effet, l'angle de deux rayons du premier faisceau est égal à l'angle des rayons correspondants du second. Il en résulte (43) que le rapport anharmonique de quatre rayons du premier faisceau est égal à celui des quatre rayons correspondants du second; donc (47) les deux faisceaux sont homographiques.

11 est clair que^ dans cet exemple, il n'y a pas de rayons doubles.

Faisceaux en involution.

50. Définition. — On dit que deux faisceaux homographiques de même sommet sont en involution ou forment un faisceau involutif lorsqu'il existe une transversale qui les coupe suivant deux divisions en involution.

Soient A, B, C trois rayons quelconques du premier faisceau, A',B', C les rayons correspondants du second, T la transversale qui coupe ces faisceaux suivant des divisions en involution, a, b, c, a', h', c' les points de rencontre respectifs des rayons