AA'BC) = (0. A'AB'C

Soient alors Ti une seconde transversale quelconque, ai, 6i, Ci, a'i, 6'i, c'i les points d'intersection respectifs de Tj avec les rayons A, B, G, A', B',G'. On aura, à cause de la relation (1),

. (àta'ièic) = {a\aib\c\) ; donc (28) les divisions tracées sur T^ sont aussi en involution, d'où l'on conclut que :

8% deux faisceaux homo graphiques de même centre sont en involution, toute transversale |es coupe suivant des divisions en involution.

51. Des propriétés des divisions en involution, on déduit immédiatement les propriétés suivantes des faisceaux en involution :

Dans deux faisceaux eninvolution, tout rayon considéré successivement comme appartenant au premier ou au second faisceau a le même homologue (23).

Réciproquement, si dans deux faisceaux homo graphiques de même centre, il existe un rayon qui, considéré comme appartenant au premier ou au second faisceau, a le même homologue, les faisceaux sont en involution (2i).

Dans un faisceau involutif il existe deux, un ou zéro rayons doubles; les rayons doubles forment un faisceau harmonique avec deux rayons correspondants quelconques (26).

Deux couples de rayons homologues déterminent un faisceau involutif (27).

Pour que trois couples de rayons correspondants appartiennent à un faisceau involutif, il faut et il suffit que le rapport anharmonique de quatre de ces rayons soit égal à celui des quatre rayons homologues (28).

!. Théorème. — Quand un angle droit tourne autour d'un

point fixe, ses côtés engendrent un faisceau in~ volutif.

Soient L^L' (fig. m un angle droit qui tourne autour de son sommet S, T une transversale quelconque qui coupe les rayons SL et SL' en M et M', 0 le pied de la perpendiculaire abaissée de S sur T . On aura

OM.OM' = — os' ;

donc (25) les points M et M' décrivent des divisions en involution : 0 est le point central de cette involution.

Il en résulte (50) que les rayons SL, SL' décrivent un faisceau involutif.