Théorème. — Le lieu du conjugué harmonique d'un point
P par rapport auxpoints de rencontre d'une sécante quelconque
issue de P avec deux droites fixes OR, OS {pg. 20) est une droite
OQ passant par leur intersection .
Menons par le point P une sécante qui rencontre les droites
OR, OS en A et B ; soient G le conjugué harmonique du point P par rapport aux points A et B et OQ la droite joignant 0 à C. Les quatre droites OR, OS, OQ, OP forment un faisceau harmonique (35). Donc toute transversale est divisée harmoniquement par ces quatre droites; en particulier, sur chaque sécante issue de P, le conjugué harmonique du point P, par rapport aux points de rencontre de la sécante avec OR et OS, se trouve sur la droite OQ.
64. La droite OQ, lieu du conjugué harmonique du point P par rapport aux points de rencontre d'une sécante issue de P avec les deux droites OR et OS, est la polaire du point P par
Fipç. 20.
APPLICATIONS
rapport à ces deux droites. On dit aussi que le point P est un pôle de la droite OQ par i-apport aux deux droites OR et OS.
Tous les points de la droite OP ont pour polaire la droite OQ ; inversement, tous les points de la droite OQ ont pour polaire la droite OP.
55. Quadrilatère complet. — On appelle quadrilatère complet la figure formée par quatre droites ; ces droites sont les côtés du quadrilatère. Le point d'intersection de deux côtés quelconques est un sommet ; il y a donc six sommets. Deux sommets sont dits opposés quand ils ne sont pas situés sur un même côté ; chaque sommet est opposé à un seul sommet. La droite qui joint deux sommets opposés est une diagonale ; il y a par conséquent trois diagonales.
La figure 21 représente un quadrilatère complet; les droites ABC, GDE, AEF, BDF en sont les côtés ; (A, D), (B, E), (G, F) sont les trcis couples de sommets opposés ; les droites AD, BE, CF sont les diagonales.
56. Théorème de Pappus. — Dans tout quadrilatère complet, chaque diagonale est divisée harmoniquement par les deux autres.
Démontrons, par exemple, que la diagonale AD {fig. 21) est
divisée harmoniquement par les points 0 et P où elle rencontre les deux autres diagonales EB et CF. Soient R et S les conjugués harmoniques du point G par rapport aux segments AB et ED. La polaire du point G par rapport aux deux droites FEA, FDB passe par R et S; la droite RS passe donc par le point F ; cette droite RS est aussi la polaire du point C par rapport aux deux droites AOD, BOE, donc RS passe par 0 ; la droite RS est confondue avec la droite FO. Les quatre droites FA, FB, FO, FG forment un faisceau harmonique; donc les quatre points A, D, 0, P forment une division harmonique.
APPLICATIONS DE L HOMOGRAPHIE
57. Corollaire. — Etant donnés deux droites Or, Oy et un point P [fig. 22), si "par le point P on mène arbitrairement deux sécantes quelconques PAB, PA'B', le point de rencontre M
des diagonales du quadrilatère ABB'A' est situé sur la polaire du point P par rapport aux deux droites Ox, Oy.
En effet, les quatre droites Ox, Oy, PAB, PA'B' forment un quadrilatère complet ; donc la droite OM est la polaire du point P par rapport aux deux droites Ox, Oy (5b).
Ce corollaire permet de construire la polaire d'un point par rapport à deux droites.
Fig. 22.
Applications de l'homographie.
58. Théorème. — Quand deux figures rectilignes de quatre points ABGD, A'B'G'D' {fig. 23) ont même rapport anharmoni-
que et un point homologue commun A, les droites BB', GC, DD' qui joignent les couples d'autres points homologues concourent en un même point 0.
En effet, soit 0 le point de concours de BB' et de GG', 8 le point où la droite OD rencontre la transversale A'B'G'. Le faisceau des quatre droites O.ABCD donne les égalités
(ABGD) = (O.ABGD) = (A'B'G'Ô).
Mais, par hypothèse,
(ABGD) = (A'B'G'D');
GUICIIARD. — TUV.ITÉ DE GÉOM . II. 3
donc
APPLICATIONS
et par suite (H) 8 coïncide avec D'; la droite DD' passe par le point 0.
59. Corollaire. — Si deux divisions homographiques ont un point homologue commun, les droites qui joignent les couples de points homologues passent par un point fixe.
Considérons sur les bases L et L' {fig. 2i) deux divisions
homographiques ., qui ont un point
homologue commun A, A'; prenons deux couples quelconques de points homologues B, B' et G, G' ; soit 0 le point de rencontre de BB' et de GG'. La droite MM' qui joint deux points homologues quelconques passera par 0, car (17)
(ABGM) = (A'B'C'M').
