Théorème. — Si deux faisceaux de quatre droites OA

OB, OG, OD et O'A', O'B', O'G', O'D' {fig. 25) ont même rapport anharmoniqueetunrayonhomolo- Dl gue commun OO'AA', les trois points d'intersection D' ^, Yi ^ d^s couples OB, OB', OC, O'G', OD, O'D' sont en ligne droite.

En effet, désignons par a, 8, S' les points de rencontre de la droite ^y avec les droites 00', OD, O'D'. On a (42) (a^yS) =.. (O.ABGD), (apyS') = (O'.A'B'G'D').

APPLICATIONS DE L HOMOGRAPHIE

Mais, par hypothèse,

(O.ABGD) = (O'.A'B'G'D'), donc

et par suite (H) o coïncide avec 8', ce qui démontre le théorème.

61. Corollaire. — Quand deux faisceaux homographiques ont un rayon homologue commun^ les points d'inlersection des couples de rayons homologues sont en ligne droite.

Soient deux faisceaux homographiques de centres 0 et 0'

{fig. 26) qui ont le rayon homologue commun OA, O'A' ; prenons deux couples quelconques de rayons homologues OB, O'B' et OC, O'C ; soit Py la droite qui joint les points d'intersection de ces couples de rayons. Le point d'intersection X de deux rayons homologues quelconques OL, O'L' sera sur la droite Py, car (47) (O.ABGL) = (O'.A'B'G'L')-

62. Théorème. — Etant donnés un triangle, ABC et deux points F et Q situés sur une droite issue de A (fig. 27), on prend sur le côté BG un point quelconque a, la droite Pa coupe AC en b ; la droite Qa coupe AB en c ; quand le point a décrit le côté BG, la droite bc tourne autour d'un point 0 situé à l'intersection de BP et de GQ.

En effet, les divisions décrites par les points a et 6 sont homographiques (44) ; il en est de même de celles décrites par les points a et c; donc (20) les points 6 et c

Fig. 26.

Fig. 27.

APPLICATIONS

décrivent des divisions homographiques. Quand le point a vient au point d'intersection D de BG et de PQ, les points é et c viennent en A. Les divisions décrites par les points b et c ont un point homologue commun A, donc (59) la droite bc passe par un point fixe 0. Si le point a vient- au point B, le point c vient en B et 6 sur PB ; la droite bc se confond donc avec BP et le point 0 est sur BP. On voit de même qu'il est sur la droite GQ.

63. Théorème, — Etant donné un triangle ABC {fig. 28) et deux droites OR, OS qui se coupent en 0 sur le côté BG, on mène par le point A une sécante quelconque qui coupe OR en |3 et OS en y', le point d'intersection M de B(3 et Cy décrit une droite L quand la sécante tourne autour du point A; cette droite L passe par le point E, commun à OS et AB, et par le point F commun à OR et AG.

En effet, les divisions décrites par [3 et y sont homographiques

(44). Il en est de même w A

des faisceaux décrits par Bjî et Gy ; quand la transversale passe par 0, les points ^ et y viennent en 0, les rayons homologues B[3, Gy sont confondus avec le côté BC.

Les deux faisceaux B et G ayant un rayon homologue commun, le lieu des points d'intersection M de deux rayons homologues B,3, Cy est une droite L (61).

Quand la transversale occupe la position AB, Bp est confondu avec AB, Gy prend la posiLion GE, le point M vient en E. La droite L passe donc par le point E. On voit de même qu'elle passe par le point F.

Fig. 28.