APPLICATIONS DE L INVOLUTION

1 ni.

Applications de l'involution.

64. Théorème. — Une transversale quelconque L {fig. 29) rencontre les couples de côtés opposés et les diagonales d'un quadrilatère ABGD en trois couples de points {a, a'), {b, b'), (c, ç), qui sont en involution.

En effet, les deux faisceaux (A.BCDc') et (C.BADc') sont tels que

leurs rayons correspondants coupent la droite BD aux mêmes points; donc (A.BCDc')

= (C.BADc').

En coupant ces

deux faisceaux par

Fig. 29. , ,

la transversale L,

[acbc') = (b'ca'c').

[h'ca'c') = (a'c'b'c); (acbc') = a'c'b'c),

et par conséquent (28), les trois couples (a, a'), (b,b')et {c,c') sont en involution .

on aura

Mais on a (12) donc

65. Théorème. — Les trois couples de droites (OA, OC), (OB, OD),

(OE, OF) {fig. .30) qui joignent les couples de sommets opposés d'un quadrilatère complet à un point quelconque 0 de son plan appartiennent à un faisceau involutif.

En effet, considérons le quadrilatère OEBG, les couples de droites (EB, OC), (OB, EC) et (OE, BC) déterminent (64) sur

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une transversale quelconque trois couples de points eninvolution. Les points d'intersection de ces couples de droites avec la trans- '^ versale ADF sont respectivement les mêmes que ceuxdes couples (OA, OC), (OB, OD), (OE, OF); ces trois couples appartiennent donc à un faisceau involutif .

66. Théorème. — Etant donné un triangle ABC {fig. 31) et deux divisions en involution sur une droite L, soient a, jS, v les points de rencontre respectifs des côtés BC, CA, AB avec la droite L, a', p', y' les homologues des points a, p, Y^ dans la correspondance involutive, les trois droites Aa', Bji', Cy' concourent en un même point M.

En etfet, soient M le point de rencontre de Aa' et BJ5»', 0 le point de rencontre de CM avec L. Dans le quadrilatère ABMC,

Fig. 31.

les couples de droites (BC, AM), (AC, BM), (AB, CM) déterminent (64) sur la droite L trois couples de points (a, a'), (p, p'), (y, ^)i qui sont en involution. Cette involution est identique à celle qui est donnée sur la base L, car elle a deux couples de points communs (a, a'), (P, ^') (27) ; donc 6 coïncide avec Y> et par conséquent la droite Cy' passe par le point M.

67. Théorème. — Étant donnés un triangle ABC ifig. 32) et un faisceau involutif S, soient A' l'intersection de ^C avec le rayon homologue de SA, B' celle de CA avec le rayon homologue de