PA

d'où l'on

déduit l'égalité

PD

PA

qui montre que les points 0 et P divisent harmoniquement le segment AD.

75. Théorème. — Dans tout quadrilatère complet les milieux des trois diagonales sont en ligne droite.

Considérons le triangle ABC (fig. 37) formé par trois côtés A quelconques du quadrilatère

complet; prenons les milieux a, ^, Y des côtés de ce triangle.

Les droites Py» Y^5 «?' passent respectivement par les milieux A', B', G' des diagonales AD, BE, CF. Pour démontrer que les points A', B', G' sont en ^ ligne droite, il faut montrer que l'on a

Fig. 37.

Or, en coupant le triangle ABC par la transversale DEF, on a DB EC FA EA '

DC EA FB Or chacun des rapports qui figurent dans la relation (1) est

TRANSVERSALES

égal au rapport qui occupe le même rang dans la relation (2). La relation (1) est donc vérifiée en même temps que la relation (2), et par conséquent les trois points A', B', G' sont en ligne droite.