FIGURES POLAIRES RÉCIPROQUES

Pôle et polaire par rapport à un cercle.

79. Définitions. — Soient 0 le centre d'un cercle {fig . 40), R son rayon, P un point quelconque de son plan.

Sur la droite OP, prenons un point Q tel que le produit OP.OQ soit égal à R^. Par le point Q menons une droite D perpendiculaire à la droite OP : la droite D ainsi construite est la polaire du point P par rapport au cercle .

Inversement, si D est une droite quelconque du plan du cercle, abaissons du

Fig. 40

centre 0 la perpendiculaire OQ sur la droite; prenons sur OQ un point P tel que OP.OQ = R^ : le point P ainsi déterminé est le pôle de la droite D par rapport au cercle.

Les points P et Q divisent harmoniquement le diamètre AB qui passe par le point P (6).

Si le point P est extérieur au cercle, le point Q est à l'intérieur; la polaire coupe le cercle. Si le point P est sur le cercle,

il en est de même du point Q ; la polaire est tangente au cercle au point P. Si le point P est intérieur au cercle, le point Q est à l'extérieur ; la polaire ne coupe pas le cercle ; quand le point P se rapproche de 0, le point Q s'en éloigne, et si P tend vers 0, Q s'éloigne indéfiniment. On dit que la polaire du point 0 est rejetée à l'infini.

80. Théorème. — Le conjugué harmonique d'un point P {/îg. 41) par rapport aux deux points où une sécante quelconque issue de P coupe un cercle est situé sur la polaire du point P par rapport à ce cercle.

Menons par le point P une sécante rencontrant le cercle en

Fig. 41.

E et F, et la polaire du point P en H. Le diamètre AB étant divisé harmoniquement par les points P et Q, le faisceau (F. ABPQ) est harmonique ; les droites conjuguées FA et FB étant rectangulaires, ces droites sont les bissectrices de l'angle PFQ (39) ; il en résulte que la droite FQ passe par le symétrique E' du point E par rapport au diamètre AB. La droite QA est donc bissectrice de l'angle EQE'; par conséquent le faisceau (Q.AHEE') est un faisceau harmonique (39), et en coupant ce faisceau parla sécante PEF, on en conclut que H est leconjugué harmonique de P par rapport au segment EF.

8i. Remarque. — Supposons le point P extérieur au cercle; imaginons que la sécante PEF tourne autour du point P en se rapprochant constamment delà tangente PG; les points E et F viennent à la limite se confondre avec le point G ; il en est de

GUKJIIARD.

JHAITE DE GEOM. II .

même du point H qui est situé sur le segment EF ; la polaire du point P passe par G. Donc :

La 'polaire d'un point extérieur au cercle est la droite qui joint les points de contact des tangentes au cercle issues de ce point.

82. Théorème. — Les polaires de tous les points d'une droite passent par le pôle de cette droite ; inversement., les pôles de toutes les droites qui passent par un point sont situés sur la polaire de ce point.

Soit XY une droite quelconque (^^. 42), A un point quelconque de cette droite. Du point G pôle de XY abaissons la

perpendiculaire CB sur le diamètre OA . Les angles B et D du quadrilatère ABGD étant droits, ce quadrilatère estinscriptible, et Ton a