Le théorème précédent peut encore s'énoncer ainsi

1° Si un point G est situé sur la polaire du point A, inversement le point A est situé sur la polaire du point G. Deux points tels que l'un soit situé sur la polaire de Tautre sont dits conjugués par rapport au cercle.

2° Si une droite ^ passe par le jjôle d'une droite a, inversement la droite a passe par le pôle de la droite p. Deux droites qui sont telles que le pôle de chacune d'elles est situé sur l'autre sont dites conjuguées par rapport au cercle.

84. Corollaire I. — Toule droite a pour pôle l'intersection des polaires de deux de ses points.

Tout point a pour polaire la droite qui joint les pôles de deux droites issues du point.

80, Corollaire II. — Si d'un point T (fig. 43) on mène les tangentes TM, TN à un cercle, la droite MN qui joint les points de contact est la polaire du point T. (Résultat établi d'une autre manière n° 81).

En effet, M est le pôle de la tangente TM, N celui de TN ; -donc (84) MN est la polaire de T.

Fig. 43. Fig. 44.

86. Corollaire III. — Si par un point P {fig. ^3) on mène une sécante quelconque PMN au cercle, le point de rencontre T des tangentes au cercle en M. et N est situé sur la polaire du point P.

En effet, T est le pôle de la droite PMN (85) ; par conséquent T est situé sur la polaire du point P (84).

87. Triangle conjugué par rapport à un cercle. — Soit A un point quelconque du plan {fig. 44), a la polaire du point A par rapport à un cercle 0.

Sur la droite a, prenons un point quelconque B ; menons la polaire du point B ; elle passe par A (82) et coupe la droite a en un point C. La polaire du point G doit passer par les pôles des droites CB, CA (84) ; cette polaire est donc la droite AB. Le triangle ABC possède la propriété suivante : chacun des côtés est la polaire du sommet opposé par rapport au cercle.

Tout triangle qui possède cette propriété est dit conjugué par rapport au cercle.

Quand un triangle est conjugué par rapport à un cercle, le point de rencontre des hauteurs du triangle est le centre du cercle.

En effet, la perpendiculaire menée d'un point à la polaire de ce point passe par le centre du cercle (79) ; donc dans un triangle conjugué par rapport au cercle, les trois hauteurs passent par le centre du cercle.

88. Théorème. — Quand un quadrilatère est inscrit dans un cercle^ les points de rencontre des côtés opposés et le point de rencontre des diagonales sont les sommets d'un triangle conjugué par rapport au cercle.

Soient ABCD un quadrilatère inscrit {flg. 45), P et R les

points de rencontre des côtés opposés, Q le point de rencontre des diagonales. Démontrons, par exemple, que la polaire du point P est la droite RQ. Soient S et T les conjugués harmoniques de P par rapport aux segments AB et CD ; la droite ST (80) est la polaire du point P par rapport au cercle. C'est aussi la polaire du point P par rapport aux droites RAD et RBC, donc ST passe par R; on voit de même que ST passe par Q. Donc RQ est la polaire du point P par rapport au cercle.

89. Remarque. — Le théorème précédent permet de construire, avec la règle seule, la polaire d'un point P par rapport à un cercle ; pour cela on mène deux sécantes quelconques PAR, PCD issues du point P {fig. 45). Le point d'intersection Q de AG et de RD appartient à la polaire du point P ; il en est de même du point d'intersection R de AD et de BC.