F16URES POLAIRES RÉCIPROQUES

Figures polaires réciproques.

91. Étant donnés un cercle et un polygone quelconque ABCDE, construisons le polygone A'B'G'D'E' dont les sommets A', B'^ G', D', E' sont les pôles des côtés AB, BC, CD, DE, EA. Les points B, G, D, E, A sont (84) les pôles des côtés A'B', B'G', CD', D'E', E'A'. Le premier polygone se construit avec le second comme le second a été construit avec le premier. Ces deux polygones sont dits polaires réciproques par rapport au cercle.

Considérons maintenant une courbe quelconque G (fig. 47); soient MT la tangente en un point M de cette courbe, m le pôle

de cette tangente par rapport au cercle donné. Quand le point M décrit la courbe G, le point m décrit une courbe c. Nous allons montrer qu'il y a réciprocité entre les courbes C et c. En effet, soient M'T' une autre tangente de la courbe C, m!

son pôle. Le point de rencontre S Fig- 47. de MT et de M'T' est le pôle de la

corde mm'. Or quand M' se rapproche indéfiniment du point M, le point S a pour position limite le point M et la corde mm', la tangente en m à la courbe c ; donc le point M est le pôle de la tangente en m à la courbe c. Ces deux courbes C et c sont dites polaires récijjroques par rapport au cercle.

92. Lorsque deux figures sont polaires réciproques, à un certain nombre de points situés en ligne droite dans l'une correspond, dans l'autre, un même nombre de droites passant par un même point, pôle de la droite, et inversement.

Il en résulte qu'à tout théorème concernant des points en ligne droite dans une figure on fait correspondre dans la figure polaire réciproque un théorème concernant des droites concourantes,

et inversement. Ces deux théorèmes sont dits corrélatifs. Ainsi, par exemple, les théorèmes des n°^ 76 et 77 sont corrélatifs.

93. Théorème de Briaiichon. — Considérons un hexagone inscrit dans un cercle ; la figure polaire réciproque par rapport au cercle sera Thexagone circonscrit formé par les tangentes aux sommets du premier polygone. Au point de rencontre de deux côtés opposés du premier polygone correspond la droite qui joint deux sommets opposés dans le second. Du théorème de Pascal (78), on déduira donc le théorème suivant, dû à Brianchon :

Quand un hexagone est circonscrit à un cercle, les trois droites qui joignent les sommets opposés sont concourantes.

Involution sur un cercle.

9i. Théorème. — Si A, B, C, D {fig . 48) sont quatre points d'un cercle, M un point quelconque du cercle, le rapport anharmonique du faisceau (M.ABCD) reste fixe quand le point M se déplace sur le cercle.

En effet, on a (43)

(M.ABCD) = sinCMA sinDMB ^ ^ sin GMB siii DMA

Or, quand le point M se déplace sur le cercle, tous les sinus

qui figurent au second membre restent constants.

Ce rapport constant est le rapport anharmonique des quatre points A, B, G, D du cercle.

Soient a, b, c, d les points où les tangentes en A^ B, C, D coupent la tangente au point M. On a

[abcd) = {O.abcd).

Mais

(0.a6crf)=:(M.ABGD),

car les rayons correspondants des faisceaux 0 et M sont rectangulaires ; donc

[ahcd) = (M.ABGD).

{abcd) reste fixe quand le point M se déplace sur le cercle et par conséquent : Si Von coupe quatre tangentes fixes d'un cercle par une tangente mobile, le rapport anharmonique des quatre points d'intersection reste le même.

Ce rapport constant est le rapport anharmonique des quatre tangentes fixes.

Le rapport anharmonique de quatre tangentes à un cercle est égal au rapport anharmonique des quatre points de contact.

C'est ce qui résulte de l'égalité

[abcd) = (M.ABGD).

9o. Corollaire. — Les droites PM, P'M {fig. 49) qui joignent deux points fixes P et P' d'un cercle à un point mobile M de ce cercle décrivent des faisceaux homographiques.

Fig. 50.

En effet, le rapport anharmonique de quatre rayons du faisceau P est égal à celui des rayons correspondants du faisceau P' (94).

Les points \x et \t.' {fig. 50) où une tangente mobile à un cercle coupe deux tangentes fixes de ce cercle décrivent des divisions homographiques.

En effet, le rapport anharmonique de quatre points de la première division est égal à celui des points correspondants de la seconde .

96. Définition. — Faisons correspondre à chaque point M d'un cercle un point M' de ce cercle ; on dit que les points M et M' décrivent des divisions correspondantes sur le cercle,

La correspondance sera dite homographique si le rapport anharnionique de quatre points quelconques de la première division est égal au rapport anharraonique des quatre points correspondants de la seconde.

Supposons que les points M et M' décrivent des divisions homographiques sur le cercle ; soient S et S' deux points quelconques du cercle; les rayons SM et S'M' décrivent des faisceaux homographiques. En effet, si (A, A'), (B, B'), (C, G'), (D, D') sont quatre couples de points correspondants quelconques, on aura

(S.ABGD) = (ABCD),

Mais

(ABCD) = (A'B'G'D) ; donc

(S.ABGD) = (S'. A'B'G'D').

Le rapport anharmonique de quatre rayons quelconques du faisceau S étant égal au rapport anharmonique des rayons correspondants du faisceau S', les deux faisceaux S et S' sont homographiques.

On démontrerait de même que si a et a' sont deux tangentes quelconques au cercle, [^ le point de rencontre de la tangente en M avec a, ^' le point de rencontre de la tangente en M' avec a', les points [j. et ,a' décrivent des divisions homographiques.

Inversement, si un cercle passe par les sommets S et S' de deux faisceaux homographiques, et si M et M' sont les points où deux rayons homologues des faisceaux sont coupés par le cercle, les points M et M' décrivent des divisions homographiques. En effet, on voit facilement que le rapport anharmonique de quatre points quelconques de la première division est égal à celui de leurs correspondants.

On voit de même que si un cercle est tangent aux deux bases a et i' de deux divisions homographiques et si M et M' sont les points de contact des tangentes issues de deux points homo-

logues des divisions, les points M et M' décrivent des divisions homographiques.

97. Involution sur un cercle. — Une correspondance homographique entre les points d'un cercle est dite- involutive lorsqu'il existe un point A qui, considéré successivement comme appartenant à la première et à la seconde division, a toujours le même homologue A'.

Soit alors S un point quelconque du cercle ; SM, SM' les rayons qui joignent le point S à deux points homologues quelconques. On sait (96) que les rayons SM et SM' décrivent des faisceaux homographiques; au rayon SA, considéré successivement comme appartenant au premier et au second faisceau, correspond toujours le rayon SA' ; donc les rayons SM, SM' décrivent des faisceaux en involution.

On voit de même que si a est une tangente au cercle, [j. et [i les points où les tangentes en M et M' rencontrent g, les points fA et p.' décrivent des divisions en involution.

Inversement^ si par le sommet S d'un faisceau en involution on fait passer un cercle, les points M et M' oii le cercle est coupé par deux rayons homologues du faisceau, sont en correspondance involutive. En effet, nous savons déjà (96) que la correspondance entre M et M' est homographique ; chaque point du cercle a toujours le même homologue dans la première et dans la seconde division ; donc la correspondance est involutive.

On voit de même que si on mène un cercle tangent à la base G d'une division en involution, les points de contact M et M' des tangentes issues de deux points homologues de <t, sont en correspondance involutive. A cause de cette propriété on dit que les tangentes au cercle en M et M' sont en correspondance involutive.

98. Remarque. — A toute propriété de l'involution sur une droite, on peut faire correspondre une propriété de l'involution sur un cercle. Ainsi

Deux couples de points homologues déterminent une involution sur un cercle.

Si (A, A'), (B, B'), (G, G') sont trois couples de points homologues de l'involution sur un cercle, on a

(ABGC) = (A'B'C'G).

Dans une involution sur un cercle, il y a au plus deux points doubles. Le rapport anharmonique des deux points doubles et de deux points correspondants quelconques est égal à — i.

99. Théoi'ème. — Les points de rencontre M^ M' {(ig. 51) d'un cercle £t d'une sécante variable qui tourne autour d'un jjoint fixe P sont en correspondance involutive.

En effet, soient PAB une sécante fixe, PMM' u ne sécante variable.

Les droites BM et AM' se coupent en un point p. situé sur la polaire du point P. Gela posé, si Ton prend quatre positions quelconques du point M, le rapport anharmonique de ces quatre points est le même que celui des quatre rayons BM, ou encore que celui des quatre positions correspondantes du point u ; il en est de même du rapport anharmonique des quatre points M'; il en résulte que la correspondance entre M et M' est déjà homographique ; cette correspondance étant évidemment symétrique est involutive.

100. Par la méthode des polaires réciproques on déduit du théorème précédent le théorème corrélatif suivant :

Si de chaque point d'une droite on mène les tangentes à un cercle, on obtient des tangentes qui sont en correspondance involutive.

101. Réciproque. — Les cordes qui joignent les points homologues d'une correspondance involutive sur un cercle passent par un point fixe.

En effet, soient (A, A% (B, B') {fîg. 52) deux couples de points homologues, P le point de rencontre descordes AA',BB'; M, M' deuxpoints homologues quelconques ; désignons pour un instant par- M" le point de rencontre de PM avec le cercle. D'après le théorème direct (99), les trois couples (A, A'), (B,B'), (M,M"j sont en involution ; mais par hypothèse il en est de même des trois couples (A, A'), (B, B'), (M, M'). Une involution étant définie par deux couples, M" coïncide avec M'; donc la corde MM' passe par le point P.

Fig. 52.