CERCLES ORTHOGONAUX
106. Corollaire I. — Pour que deux cercles soient orthogonaux, il faut et il suffit que le carré de la distance de leurs centres soit égal à la somme des carrés de leurs rayons.
107. Corollaire II. — Pour que deux cercles 0 et 0' qui se coupent en M et M' [fig. 55) soient orthogonaux, il faut et il suffit que le rayon OM soit tangent du cercle 0' ou encore que la puissance du point 0 par rapport au cercle 0' soit égale au carré du rayon du cercle 0.
108. Corollaire III. — Si deux cercles sont orthogonaux, tout diamètre de l'un est divisé harmoniquement par les points où il rencontre l'autre.
Fig. 55.
Fig. 56.
En effet, soit AB {fig. S3) un diamètre du cercle 0 qui rencontre le cercle 0' en R et S. On a
OR.OS = Ôm' = ÔÂ'; donc le segnient AB est divisé harmoniquement par les points R et S.
109. Théorème. — Le lieu des centres des cercles orthogonaux à deux cercles donnés est la portion de l'axe radical extérieure à ces deux cercles.
En effet, soient 0 et 0' {fig. 56) les deux cercles donnés, I le centre d'un cercle orthogonal à ces deux cercles. Les tangentes issues du point I aux deux cercles, étant égales au rayon du cercle I, sont égales ; donc [354] le point I est sur la portion de l'axe radical extérieure aux deux cercles.
64 CERCLES ORTHOGONAUX. FAISCEAUX DE CERCLES
Inversement si I est placé sur l'axe radical, à l'extérieur des deux cercles, les tangentes menées de I aux deux cercles sont égales ; le cercle qui a pour centre le point I et pour rayon la longueur de ces tangentes sera orthogonal (107) aux deux cercles 0 et 0'.
110. Problème. — Construire un cercle orthogonal à trois cercles donnés.
Nous nous placerons dans le cas où les centres 0, 0', 0" des cercles donnés ne sont pas situés sur une même droite. Le centre I du cercle cherché doit se trouver (109) sur l'axe radical des cercles 0 et 0' ; il est aussi sur l'axe radical de 0 et 0". Le point I est donc le centre radical [355] des trois cercles 0, 0', 0".
Si le centre radical est extérieur à ces cercles, les tangentes issues de ce point I aux trois cercles sont égales. Le cercle qui a pour centre I et pour rayon la longueur commune de ces tangentes est le cercle cherché.
Si le centre radical est intérieur aux cercles donnés, le problème est impossible.
Faisceaux de cercles.
m. Étant donnés un cercle 0 et une droite D, considérons tous les cercles C tels que l'axe radical des cercles G et 0 soit la droite D; l'ensemble de ces cercles forme un faisceau; l'axe radical de deux cercles quelconques du faisceau est évidemment la droite D. Cette droite D est Vaxe du faisceau.
Les centres des cercles G sont situés sur la droite a menée du centre du cercle 0 perpendiculairement à la droite D. Gette droite a est la base du faisceau.
Trois cas peuvent se présenter :
1° La droite D coupe le cercle 0 en deux points A et A' ; tous les cercles du faisceau passent par les points A et A'; inversement tout cercle passant par A et A' appartient au fais-
ceaii. On a, dans ce cas, un faisceau de cercles sécants. Les points A et A' sont appelés points fondamentaux du faisceau.
2o La droite D est tangente au cercle 0 en un point A ; tous les cercles G sont tangents à la droite D au point A, inversement tout cercle tangent à la droite D au point A appartient au faisceau. On -à, dans ce cas, un faisceau de cercles tangents.
3° La droite D est extérieure au cercle 0 ; deux cercles quelconques du faisceau n'ont aucun point commun. On a, dans ce cas, un faisceau de cercles non sécants.
112. Théorème. — Par tout point du plan, situé hors de l'axe, passe un cercle du faisceau et un seul.
En effet, par le point donné P [fig. 57) menons une sécante
rencontrant le cercle 0 en M et M' et l'axe D en L Le cercle cherché coupera la sécante en un point F, tel que
1) IPxIP' = IMxIM', ce qui détermine le point P'.
Le centre du cercle cherché sera sur la perpendiculaire menée à PP' en son milieu et sur la base a du faisceau, ce qui détermine le centre £i.
Inversement, le cercle passant par P et ayant pour centre o appartient au faisceau. En effet, l'axe radical des cercles 0 et Q passe par I à cause de la relation (i) ; il est perpendiculaire à la droite Où ; cet axe radical est donc la droite D et par conséquent le cercle Q appartient au faisceau.
113. Théorème, — Les deux points d'intersection d'un cercle du faisceau avec une sécante quelconque sont deux points conjugués d'une division en involution.
En effet, soient P et P' {fig. 57) les deux points d'intersection d'un cercle quelconque du faisceau avec une sécante R, I le point d'intersection de la transversale R avec l'axe du faisceau.
Fig. 57.
CERCLES ORTHOGONAUX. FAISCEAUX DE CERCLES
Le produit IP X IP' reste le même pour tous les cercles du faisceau ; donc P et P' sont deux points correspondants d'une involution dont I est le point central (25).
114. Théorème. — 7^0?^^ cercle orthogonal à deux cercles d'un faisceau est orthogonal à tous les cercles du faisceau. Soit I le centre d'un cercle orthogonal à deux cercles 0 et 0'
Fig. 58.
(fig. 58) ; le centre 1 de ce cercle est situé sur l'axe radical des cercles 0 et 0', c'est-à-dire sur l'axe du faisceau; le carré du rayon du cercle I est égal à la puissance du point I par rapport aux cercles 0 et 0' ou encore à la puissance de I par rapport à un cercle quelconque o du faisceau; donc (107) le cercle I est orthogonal au cercle o.
115. Théorème. — Les cercles orthogonaux aux cercles d'un faisceau forment un faisceau.
En effet, soient I un cercle orthogonal aux cercles du faisceau donné (fig. 58), 0 et 0' deux cercles de ce faisceau ; considérons un deuxième faisceau qui contient le cercle I et qui a pour axe 00'.
Soit maintenant V un cercle orthogonal aux cercles du premier faisceau. La puissance du point 0 par rapport aux cercles I et 1' est égale au carré du rayon de ce cercle ; le point 0 est donc
situé sur l'axe radical des cercles I et I' ; il en est de même de 0' ; l'axe radical des cercles I et 1' étant la droite 00', le cercle V appartient au deuxième faisceau.
H 6. Remarque. — Les deux faisceaux ainsi obtenus sont dits conjugués. Le premier a pour axe la droite D et pour base a, tandis que le second a pour axe la droite A et pour base la droite D. Tout cercle de l'un des faisceaux est orthogonal à tous les cercles de l'autre.
Si le premier faisceau est formé de cercles sécants passant par
B'iJ.
Fig. 59.
A et A' (^g. 59), quelle que soit la position du point Q sur la droite A, il y a un cercle du premier faisceau qui a pour centre Q. La puissance du point Q par rapport aux cercles du second faisceau est égale à QA ; la droite a est donc extérieure aux cercles du second faisceau et le second faisceau est formé de cercles non sécants.
Si au contraire le premier faisceau est formé de cercles non sécants, la puissance de tout point I de la droite D est positive ; donc, quelle que soit la position du point I sur la droite D, il y a un cercle du second faisceau qui a son centre en I. En particulier, il y a un cercle du second faisceau qui a son centre au point d'intersection H des droites D et a. Ce cercle coupe évidemment la droite A en deux points B et B'; mais a étant l'axe du second faisceau, tous les cercles de ce second faisceau passeront par B et B'. Le second faisceau est donc formé de cercles sécants.
Ces points B et B' sont les points limites du premier faisceau.
CERCLES ORTHOGONAUX. FAISCEAUX DE CERCLES
Le centre Q d'un cercle du premier faisceau doit être situé en dehors du segment BB'. En effet, le carré du rayon de ce cercle est la puissance de Q par rapport aux cercles du second faisceau, et est égal au produit QB X ÙB' ; ce produit étant ainsi positif, Q est hors du segment BB'. On voit de plus quasi Q se rapproche du point B', le rayon du cercle correspondant tend vers zéro . Les points B et B' peuvent donc être considérés comme des cercles de rayon nul du premier faisceau. Delà le nom de points limites qui leur a été donné par Poncelet.
117. Théorème. — Un point limite a même polaire par rapport à tous les cercles du faisceau.
En effet, soient B, B' {fig. 59) les points limites, Q. un cercle du faisceau, a, a' les points où û coupe la base A. On a
Qa = qB.qB', ce qui montre que le segment BB' divise harmoniquement le segment aa' . La polaire du point B par rapport au cercle Q est donc la perpendiculaire à a menée par B'.
118. Théorème. — Les polaires d'un point P par rapport à tous les cercles d'un faisceau concourent en un même point F'
{fig- 60).
Soient o. un cercle quelconque du faisceau, I le cercle du faisceau conjugué qui passe par P. Menons la droite ûP; elle coupe le cercle Q. en A et B, et le cercle I en Q. Le point Q est le conjugué harmonique de P par rapport aux points A et B (108); la polaire du point P est la perpendiculaire à la droite Pa menée par Q, cette perpendiculaire passera par le point P' diamétralement opposé à P sur le cercle I ; donc les polaires du point P par rapport à tous les cercles du faisceau passent par P' .
