CHAPITRE VII INVERSION

119. Définitions. — Etant donnés un point S et un nombre X, à chaque point M du plan faisons correspondre un point M' situé sur la droite SM et tel que le produit SM . SM' soit égal à X. Le point M' est dit Vinverse du point M, de même que M est l'inverse de M'.

Si X est positif, les points M et M' sont situés d'un même côté du point S ; si X est négatif, les points M et M' sont de part et d'autre du point S.

Si le point M décrit une figure F, le point M' décrira une figure F'. Ces figures F et F' sont dites inverses ou encore ira7isformées par rayons vecteurs réciproques.

Le point S est Voj^igine de l'inversion ; le nombre X en est la puissance.

120. Théorème. — Les tangentes à deux figures inverses en des points correspondants sont également inclinées sur le rayon

vecteur.

En effet, soient M et N deux points d'une figure, M' et N' leurs inverses {fig. 61). On a par hypothèse

SM.SM' = SN.SN'; par conséquent les quatre points M, N, M', N' sont situés sur un même cercle ; il en résulte que les angles M'MN et M'N'R sont égaux. Si le rayon SNN' se rapproche indéfiniment du rayon SMM', les droites MN,

Fig. 61.

INVERSION

M'N' ont pour positions limites les tangentes aux courbes en M et M'; l'angle M'MN a pour valeur limite l'angle M'MT ; la position limite de l'angle RN'M' est l'angle RiM'Ti, opposé à l'angle MM'T' ; donc les angles M'MT et MMT sont égaux.

121. Corollaire, — L'angle de deux lignes qui se coupent en un point A est égal à l'angle de leurs inverses au point A', inverse de A.

En effet, soient AT, AR {fig. 62) les tangentes aux deux courbes en A, AT et A'R les tangentes aux courbes inverses. Les angles A'AT, A'AR étant respectivement égaux aux angles AA'TjAA'R, on en conclutl'égalité des angles TAR et TA'R; donc les courbes se coupent sous le même angle que leurs inverses.

On exprime encore cette propriété Fig. 62. très importante en disant que l'inver-

sion conserve les angles.

En particulier, deux courbes tangentes se transforment en deux courbes tangentes.

J22. Théorème. — Si M', N' (fig. 63) sont les inverses des

points M, N par rapport à l'origine 0 et à la puissance d'inversion X, on a entre les segments M'N' et MN la relation

M'N' = MNX'

Fig. 63.

peut s'écrire

OM.ON En effet, la relation OMxOM' = ONxON'

OM