Réciproque. — La figure inverse d'un cercle passant par

INVERSION

l'origine est une droite perpendiculaire au diamètre mené par l'origine.

Soient OP' le diamètre qui passe par l'origine, P l'inverse du point F {/îg. 64), M' un point quelconque du cercle, M son inverse. Les angles OM'P' et OPM sont égaux (120); mais le premier est droit, donc le point M est sur la perpendiculaire menée au point P au diamètre OP.

126. Remarque. — Un cercle et une droite peuvent être considérés de deux manières différentes comme des figures inverses.

Menons le diamètre OP' perpendiculaire à la droite donnée D [fig. 64) ; OP' coupe la droite D en P. Si l'on prend pour origine 0 et pour puissance d'inversion le produit OP'.OP, le cercle et la droite seront deux figures inverses ; il en sera de même si l'on prend pour origine P' et pour puissance le produit P'PXP'O.

Il résulte d'ailleurs de ce qui précède qu'il n'y a pas d'autres manières de faire du cercle et de la droite deux figures inverses.

Dans le cas particulier où la droite est tangente au cercle, .il n'y a en réalité qu'une seule façon de faire du cercle et de la droite deux figures inverses. Il faut éliminer l'origine qui coïncide avec le point de contact.

Fig. 65.

127. Théorème. — La figure inverse d'un cercle qui ne passe pas par l'origine est un cercle.

Soient 0 l'origine [fig. 65), G le cercle donné, p la puissance du point 0 par rapport au cercle. La figure inverse du cercle C,

INVERSION 73

quand l'origine est 0 et la puissance d'inversion p, est le cercle

G lui-même, car si OMN est une sécante au cercle issue de 0,

on a

OMxON = p.

La figure inverse, quand la puissance d'inversion est l, est une figure homothétique du cercle C (123) ; ce sera un cercle C [305J. Le centre d'homothétie est l'origine 0, le rapport d'homothétie de C à G est égal, en grandeur et en signe, à

128. Réciproque. — Deux cercles quelconques peuvent, en général, être considérés de deux manières différentes comme des figures inverses.

En effet, soient G et C les deux cercles donnés (/?^. 65), 0 un de leurs centres de similitude, p la puissance du point 0 par rapport au cercle G, k le rapport de similitude de G' à G quand on prend pour centre d'homothétie le point 0. Si l'on prend pour origine le point 0, pour puissance d'inversion le nombre À = ko, la figure inverse du cercle G sera le cercle G' (127).

On peut raisonner de même sur le second centre de similitude des cercles G et C

Il résulte d'ailleurs du théorème direct qu'il n'existe pas d'autre manière de transformer le cercle G dans le cercle G' par une inversion.

Soit alors p' la puissance de 0 par rapport au cercle G'. Le

rapport d'homothétie de G à G' étant — 5 on aura

D'autre part, on sait que

X = kp ; donc