X^ = PP

74 INVERSION

129. Remarque. — La réciproque que nous venons d'établir est en défaut dans les deux cas suivants :

1° Les deux cercles sont tangents. — Le point de contact 0 est un centre de similitude^ on a ici p = 0 et par suite X = 0 ; il faut rejeter la solution correspondant à ce point 0.

2° Les deux cercles sont égaux. — Le centre de similitude externe est rejeté à l'infini; on ne peut plus le choisir comme centre d'inversion.

Dans ces deux cas, il n'y a, en réalité, qu'une seule façon de considérer les cercles comme des figures inverses.

130. Points antihomologues de deux cercles. — Soit 0 un centre de similitude de deux cercles C et G' ; les deux cercles peuvent être considérés comme deux figures homothétiques, le centre d'homothétie étant 0, ou encore comme deux figures inverses, l'origine d'inversion étant le point 0.

A un point M du cercle C correspond dans l'homothétia un point M' {pg. 65); M et M' sont appelés jooin/s homologues,

A un point M du cercle C correspond dans l'inversion un point N' du cercle G'; les points M et N' sont appelés points antihomologues .

Une sécante aux deux cercles passant par 0 coupe le cercle C en M et N, le cercle G' en M' et N' {fig. 65). Ces quatre points forment deux couples de points homologues, 'savoir : les couples (M, M') et (N, N'), et deux couples de points antihomologues, savoir : les couples (M, N'j et (N, M').

Une corde du cercle G et une corde du cercle G' sont dites antihomologues quand les extrémités de l'une sont antihomologues des extrémités de l'autre. (Ex. : les cordes PN et QM', fig. 65.)

Les extrémités de deux cordes antihomologues sont sur un ' même cercle.

Prenons les deux cordes antihomologues PN et QM', on a OP.OQ = ON.OM' = X;

donc les quatre points P, Q, N, M' sont situés sur un même cercle.

INVERSION 75

Deux cordes antihomologues se coupent sur V axe radical.

En effet, le point de rencontre de PN et de QM' est le centre radical des trois cercles C, G' et (PNQM') ; il est donc situé sur l'axe radical des cercles C et C

Si l'on suppose que la droite OPQ tourne autour du point 0 en se rapprochant indéfiniment de ONM'^ les cordes PN et QM' ont pour positions limites les tangentes NT, M'T aux cercles C et C aux points N et M'; donc :

Les tangentes à deux cercles en deux points antihomologues se coupent sur l'axe radical de ces deux cercles.