Discussion, — Nous distinguerons deux cas

1° La droite D est extérieure au cercle G {fig. 68 et 69).

Si le cercle G est extérieur au cercle 0, le point S est sur le prolongement de M'M, le produit SM.SM' est positif; le point S coïncide avec le centre d'inversion V à puissance positive.

Si le cercle G est intérieur au cercle 0, le point S est placé entre M et M'; donc le point S coïncide avec le centre d'inversion V à puissance négative.

2° La droite H coupe le cercle G {fig. 68 -et 70).

Supposons le cercle 0 extérieur au cercle G et, par exemple,

du même côté que le point V par rapport à la droite D. Le

point S est sur le prolongement de M'M au delà de M; le point S est du même côté que M par rapport à la droite D, donc le point S vient en'V. Le point S est donc celui des centres d'inversion qui est du même Fig. 70. côté que le cercle 0 par

rapport à la droite D.

Supposons, au contraire, le cercle 0 intérieur au cercle G et, par exemple, du même côté que V par rapport à la droite D Le point S est sur le prolongement de MM' au delà de M', et par conséquent du côté opposé à M par rapport à D; le point S vient donc en V. Le point S est alors celui des centres d'inversion qui est du côté opposé au cercle 0 par rapport à la droite D.

138. Réciproque. — Soient S un centre d'inversion du cercle C et de la droite D, p la puissance d'inversion correspondante ; si la puissance de S par rapport à un cercle 0 est égale à p, le cercle 0 ne peut être tangent à D sans être tangent à G, et inversement.

Supposons le cercle 0 tangent à la droite D ; je dis qu'il est tangent au cercle G. En effet, faisons une inversion d'origine S et de puissance/?; le cercle 0 se transforme en lui-même, la droite D, dans le cercle G; les figures 0 et D étant tangentes, il en est de même de leurs transformées 0 et C, ou inversement.

139. Problème. — Mener par un point Q un cercle tangent à une droite D et à un cercle G {fig. 71).

Soit 0 un cercle cherché ; la corde de contact MM' doit passer par un centre d'inversion S, la puissance du point S par rapport au cercle 0 sera égale à la puissance d'inversion du point S