Discussion. — Nous distinguerons deux cas

1"" CAS. — La droite D est extérieure au cercle C (fig. 72). La droite et le cercle partagent le plan en trois régions : 1° les points intérieurs au cercle C ; 2° les points extérieurs au cercle G et du même côté que ce cercle par rapport à la droite D ; 3° les points qui sont du côté opposé au cercle par rapport à la

droite D.

Dans chacune des inversions V ou V, les points de la première région ont pour inverses des points de la troisième, les points de la seconde ont pour inverses des points de la seconde.

Si donc le point Q est dans la première ou la troisième région, sont inverse Q' sera du côté opposé à Q par rapport à la droite D, le problème sera impossible.

Si le point Q est dans la deuxième région, son inverse Q' sera aussi dans la deuxième région, les points Q et Q' seront d'un même côté de la droite D ; il y aura donc deux cercles correspondants au point V et deux autres cercles correspondants au point V, en tout quatre solutions.

2e CAS. — La droite D coupe le cercle G (fig. 73). La droite et le cercle partagent le plan en quatre régions: 1° les points intérieurs au cercle et du même côté que V par rapport à la droite D ;

Fig. 72.

2° les points intérieurs au cercle et du côté de V par rapport à D ;

30 les points extérieurs au cercle et du côté de V par rapport à D ;

4° les points extérieurs au cercle et du côté de V par rapport à D.

Les points des régions (1), (2), (3), (4)

ont respectivement pour inverses :

dans l'inversion V, les points des régions (4), (2), (3), (1) ;

dans l'inversion V, les points des régions (1), (3), (2), (4) ;

Si le point Q est dans la région (1) :

a) son inverse Q' par rapport à V est dans la région (4) ; Q et Q' sont de part et d'autre deD^ il n'y a pas de solution correspondant au centre V ;

b) son inverse Q' par rapport à V est dans la région (1); Q

et Q' sont d'un même côté de D, il y a deux solutions correspondant au centre V.

Si le point Q est dans la région (3), son inverse Q' par rapport à V est aussi dans cette région ; Q et Q' étant d'un même côté de la droite D, il y a deux solutions correspondant au centre V. On voit facilement qu'il n'y a pas de solution correspondant au centre V.

Les conclusions relatives aux régions (1) et (3) s'appliquent respectivement aux régions (2) et (4) en échangeant V et V.

On voit que dans tous les cas le problème admet deux solutions.

Remarque. — En faisant une inversion ayant pour origine un des points d'intersection de D et de G, on ramène le problème à construire un cercle passant par un point et tangent à deux droites. On sait [377] que ce problème admet deux solutions.