Théorème. — Si un cercle 0 est tangent à deux cercles

C et C en des points Q M e< M' {fig. 74), la

droite MM' passe par l'un des centres de similitude de C etdeC.

En effet, M est un centre de similitude des cercles 0 et G, M' un centre de similitude des cercles 0' et C ; donc [309] la droite MM' passe par un centre de similitude S de C et de G'. Si le cercle 0 touche extérieurement les deux cercles G et G', M et M' sont des centres de similitude inverse ; la droite MM' passe par le centre de similitude directe de G et de G'. Si le cercle 0 est tangent intérieurement aux deux cercles G et G', M et M' sont des centres directs; la droite MM' passe encore par le centre de similitude directe de G et de G'.

Si, au contraire, le cercle 0 touche intérieurement l'un des cercles C, G' et extérieurement l'autre, M et M' sont des centres d'espèces différentes ; la droite MM' passe par le centre de similitude inverse de G et de G'.

Fig. 74.

142. Remarque I. — Nous avons vu (128) que deux cercles C et G' peuvent, en général, être considérés de deux manières différentes comme des figures inverses. Les origines de ces inversions sont les centres de similitude auxquels nous donnons pour cette raison le nom de centres d'inversion des deux cercles. La puissance d'inversion correspondante à un centre est la puissance

qu'il faut choisir pour transformer les deux cercles l'un dans l'autre quand on prend ce centre comme origine.

On peut donc dire : si un cercle 0 touche deux cercles G et G' en M et M', la droite MM' passe par un centre d'inversion S. Les points M et M' sont des points antihomologues (130) relativement à S; le produit SMxSM' est djonc égal à la puissance d'inversion correspondante au centre S ; donc :

Si un cercle 0 est tangent à deux cercles G et G', la puissance du cercle 0 par rapport au centre d'inversion par lequel passe la corde de contact est égale à la puissance d'inversion correspondante.

143. Remarque II. — Les points M et M' étant des points antihomologues, les tangentes en M et M' concourent en un point I situé sur l'axe radical des cercles G et G' (130).

Ge point I est le centre radical [355] des cercles 0, G et G'.

144. Réciproque. — Si la puissance d'un cercle 0 par rapport à un centre dinversion S de deux cercles G et G' est égale à la puissance d'inversion correspondante, le cercle 0 ne peut être tangent à l'un des cercles sans être tangent à l'autre.

Supposons le cercle 0 tangent au cercle C ; je dis qu'il est tangent au cercle G'. En effet, faisons l'inversion qui a pour origine S et pour puissance la puissance correspondante à S; le cercle 0 se transforme en lui-même, le cercle G dans le cercle G'. Les deux figures 0 et G étant tangentes, il en est de même de leurs inverses 0 et G'.

145. Problème. — Mener par un point Q un cercle tangent à deux cercles G et C (fig. 74).

La corde de contact MM' doit passer par l'un des centres d'inversion des deux cercles (142) ; soit S ce centre. La puissance du cercle cherché par rapport à S est égale à la puissance d'inversion correspondante ; donc le cercle passe par le point Q', inverse de Q dans l'inversion S. Réciproquement, tout cercle passant par Q et Q' et tangent au cercle G est tangent au cer-