CERCLES TANGENTS A DEUX CERCLES
de G'. On est donc ramené à mener par les deux points Q et Q' un cercle tangent au cercle G [378].
146. Discussion, — Nous appellerons S le centre de similitude directe, T le centre de similitude inverse des deux cercles G et G' ; ce sont les deux centres d'inversion ; si l'un de ces points est extérieur à l'un des cercles, il est extérieur à l'autre.
Faisons encore la remarque suivante :
Si le centre d'inversion est extérieur aux deux cercles inverses, tout point extérieur à l'un des cercles a pour inverse un point exté.'ieur à l'autre, de même que tout point intérieur à l'un des cercles a pour inverse un point intérieur à l'autre.
Au contraire, si le centre d'inversion est intérieur aux deux cercles, tout point extérieur à l'un des cercles a pour inverse un point intérieur à l'autre.
Gela posé, nous distinguerons trois cas :
1®"" CAS. — Les, deux cercles G et G' sont extérieurs {fig. 75).
Les points du plan (0 peuvent se partager en
trois régions : 1° les points extérieurs aux deux cercles ; 2° les points intérieurs au cercle G; 3° les points intérieurs au cercle G'. Dans l'inversion de centre S, comme dans l'inversion de centre T, les points de la première région ont leurs inverses dans cette région, les points de la région (2) dans la région (3).
Si le point Q est dans la région (1), il en est de même de son inverse Q', Q et Q' sont tous deux eîçtérieurs au cercle G ; il y aura quatre solutions : deux cercles qui correspondent à l'inversion S et deux à l'inversion T.
Si le point Q est dans la région (2), son inverse Q' est dans la région (3) ; le problème est impossible. Même conclusion si le point Q est dans la région (3).
2" CAS. — Les deux cercles G el G' se coupent {fig. 76).
Les points du plan se partagen t en quatre régions : 1° les points extérieurs aux deux cercles ; 2° les points iritéri'eurs au cercle G et extérieurs au cercle G'; 3° les points intérieurs à G' et extérieurs à G ; 4" les points intérieurs aux deux cercles. Le point S est dans la région (1), le point T dans la région (4).
L'inversion S transforme respectivement les points des régions (1) (2) (3) (4)
en ceux des régions (1) (3) (2) (4);
l'inversion T, en ceux des régions
Fig. 76.
Donc
Si le point Q est dans l'une des régions (1) ou (4), il y a deux solutions correspondant au centre S ;
Si le point Q est dans l'une des régions (2) ou (3), il y a deux solutions correspondant au centre T.
On voit que le problème admet toujours deux solutions.
Remarque. — En faisant une inversion ayant comme origine un point commun aux deux cercles, on est ramené à construire un cercle passant par un point et tangent à deux droites, problème qui admet deux solutions
3' cas. — Le cercle G est intérieur au cercle G' (fig. 11).
Les points du plan se partagent en trois régions : 1° les points extérieurs au cercle G'; 2° les points intérieurs à G' et extérieurs à G; 3° les points Fig. 'Î7. intérieurs à G. Les points S et T
sont intérieurs à G ; donc les inversions S et T transforment
