CERCLES TANGENTS A TROIS CERCLES DONNÉS

centres a, P, y ; par conséquent il y a un nombre pair de centres inverses parmi les trois centres a, p, y Ces trois points sont donc situéssurunaxe de similitude L des trois cercles (A), (6)5(0) [309], Soit maintenant I le centre radical [355] des trois cercles (A), (B), (G) ; faisons une inversion ayant pour origine I et pour puissance la puissance de ce point par rapport aux trois cercles ; les cercles (A), (B), (C) se transforment en eux-mêmes, le cercle (0) en un cercle (0') tangent aux cercles (A), (B), (G) en des points a', h', c' , qui sont les inverses des points a, b, c. Les droites è'c', c'a!, a'h' passent par les points a, p, y ^^i effet, la corde du cercle (G) qui est antihomologue de la corde bb' du cercle (B) par rapport au centre a doit passer par le point c antihomologue de 6, et couper bb' sur l'axe radical des cercles (B) et (C) (130), c'est-à-dire en I; par conséquent cette corde antihomologue est ce, donc b'c' passe par a.

Dans l'inversion de centre I qui transforme l'un dans l'autre les cercles (0) et (0'), les cordes éc, b'c' sont antihomologues, leur point de concours a est sur l'axe radical de ces deux cercles (130) ; il en est de même des points p et y ; donc l'axe radical des cercles (0) et (0') est Taxe de similitude L.

Dans cette même inversion, les points a et a' sont des points antihomologues des cercles (0) et (0'); les tangentes à ces cercles en a et a', ou, ce qui revient au même, les tangentes en a et a' au cercle (A), concourent sur l'axe radical L (130), et par conséquent la corde aà passe par le pôle /) de L par rapport au cercle (A) (83). Donc:

On obtient la corde aa' en joignant le centre radical I des trois

cercles au pôle p de l'axe de similitude L par rapport au cercle (A) .

Les points a et a' étant ainsi déterminés, les points b et b'

seront leurs antihomologues par rapport au centre de similitude y,

c et c' par rapport au centre ^.

153. 11 reste à établir que le cercle (0) passant par les points a, b, c et le cercle (0') passant par les points a', b', c' ainsi déterminés sont tangents aux trois cercles (A), (B), (G).

Tout d'abord, bb' étant antihomologue de aa' par rapport au

centre (y), les cordes aa' et bb' se coupent sur Taxe radical des cercles (A) et (B), donc hb' passe par I; il en est de même de ce'. 11 en résulte que les cercles (0) et (0') ont pour centre d'inversion le point I, la puissance d'inversion correspondante étant la puissance du point I par rapport aux cercles (A), (B), (G). Dans cette inversion, les cordes ab, a'b' sont antihomologues, par conséquent leur point de concours y 6st sur l'axe radical des deux cercles ; il en est de même du point ^ : donc l'axe radical des cercles (0) et (0') est la droite L .

Cela posé, les points a et a' sont des points antihomologues des cercles (0) et (0'), les tangentes à ces cercles en ces points concourent sur l'axe radical L; d'autre part, ces tangentes sont également inclinées sur la droite aa' (120), le point de concours de ces tangentes est l'intersection de la droite L et de la perpendiculaire menée à la droite aa' en son milieu.

Les tangentes en a et a' au cercle (A) concourent en un point situé sur la perpendiculaire menée à aa' en son milieu, et sur la droite L, parce que la corde aa' passe par le pôle de L (83).

Il en résulte que les cercles 0 et 0' sont tangents au cercle (A).

La puissance du point y par rapport aux cercles (0) et (0') est égale à la puissance d'inversion correspondante dans l'inversion qui transforme l'un dans l'autre les cercles (A) et (B) ; donc (146) les cercles (0) et (0') sont tangents au cercle (B); on voit de même qu'ils sont tangents au cercle (G). Donc:

Les cercles (0) et (0') sont tangents aux trois cercles (A), (B), (G).

154. Remarque L — On voit qu'à chaque axe de similitude peuvent correspondre deux solutions. Pour que ces solutions existent, il faut et il suffit que la droite Ip coupe le cercle (A) ; c'est ce qui a toujours lieu si le point I est intérieur aux cercles (A), (B), (G). Dans ce cas, chaque axe de similitude donne deux solutions ; il y aura donc en tout huit solutions.

155. Remarque IL— Si les trois cercles donnés ont leurs centres en ligne droite, le centre radical est rejeté à l'infini; la méthode de Gergonne n'est plus applicable. On pourra éviter cette disposition particulière en soumettant la figure à une inversion .