CHAPITRE IX

Droite de Simson.

156. Théorème. — Si d'un point M pris sur le cercle circonscrit à un triangle ABC ifig. 82), on abaisse des perpendiculaires sur les côtés du triangle, les pieds a, j3, y de ces perpendiculaires sont en ligne droite (droite de Simson).

Il suffit, pour le démontrer, de prouver que les angles -(^k et a^C sont égaux ; or, les quatre points M, A, p, Y sont sur le cercle qui a pour diamètre MA; sur ce cercle les angles y^A et yMA ont même mesure, ces angles sont donc égaux ; on voit de même que les angles a^G et «MG sont égaux. Tout revient donc à prouver que les angles yMA et aMC sont égaux ; or les angles yMa et AMC sont les suppléments de l'angle B; si de

Fig. 82.

ces angles égauxj on retranche l'angle AM^, il reste les angles Y MA et aMC, qui sont égaux.

157. Réciproque. — Si les pieds a, p, v des perpendiculaires menées d'un point M sur les côtés d'un triangle ABC sont en ligne droite (fig. 82)^ le point M est situé sur le cercle circonscrit à ce triangle.

En effet, les trois points a, p, y étant en ligne droite, les angles yPA et apC sont égaux ; or ces angles sont égaux respectivement aux angles yMA et aMC, donc y^A = ^^. En ajoutant à chacun de ces angles l'angle AMa, on obtient les angles égaux yMa et AMC; comme yM^a est le supplément de l'angle B, il en sera de même de l'angle AMC; donc le quadrilatère BAMG est inscriptible.

158. Théorème. — La droite de Simson est équidistante du 'point M et du point de rencontre H des hauteurs du triangle ABC {fig. 82).

Prolongeons la perpendiculaire Ma jusqu'à sa rencontre en D avec le cercle circonscrit et menons AD ; on aura

DAC = DMG = "S^,

et par conséquent AD est parallèle à la droite de Simson ; si

donc I est le point de rencontre de la droite de Simson avec la

hauteur AH, on aura

AI = aD.

Menons en G une perpendiculaire à BG jusqu'à sa rencontre

en E avec le cercle ; le point E est diamétralement opposé à B

sur le cercle circonscrit, par suite AE est perpendiculaire à AB.

La figure GHAE est un parallélogramme ; donc