DROITE DE SIMSON
La figure HIMa est un parallélogramme et par conséquent le milieu de HM est sur la droite de Simson la.
159. Considérons une parabole tangente aux côtés du triangle ABC [fig. 83); soit M son foyer. Les projections a, p, y du point M sur les côtés du triangle seront [783] sur la tangente au sommet à la parabole ; donc le foyer M est situé sur le cercle circonscrit au triangle. Réciproquement, soit M un point du cer-
Fig. 83.
cle circonscrit; les projections a, [3, y du point M sur les côtés du triangle sont en ligne droite; il en résulte [783] que la parabole qui a pour foyer le point M et pour tangente au sommet a^Y est tangente aux trois côtés du triangle ; donc :
Le lieu géométrique des foyers des paraboles tangentes aux côtés d'un triangle est le cercle circonscrit à ce triangle.
La tangente au sommet de la parabole étant la droite de Simson, il résultera du théorème du n° 158 que la directrice de la parabole passe par le point H ; donc :
Si une parabole est tangente aux côtés d'un triangle, le point de rencontre des hauteurs du triangle est situé sur la directrice de la parabole.
160. Théorème. — Les cercles circonscrits aux quatre triangles
d'un quadrilatère complet passent par un même point (fig. 84).
En effet; soient A, B, C, D les quatre droites du quadrilatère
Fig. 84.
complet. Les cercles circonscrits aux triangles formés par les droites A, B, C et par les droites B^ G, D se coupent au point
d'intersection de B et de G et en un autre point M. De ce point M abaissons des perpendiculaires sur les droites A, B, G, D; soient a, p, y» ^ les pieds de ces perpendiculaires. Le point M étant sur le cercle circonscrit au triangle A, B, G, la droite Py passe par a (156); on démontre de même que ^y passe par 8 ; donc les quatre points a, p, y, 8 sont en ligne droite. Les points a, p, 8 étant en ligne droite, le cercle circonscrit au triangle A, B, D passe par M; même démonstration pour le cercle circonscrit au triangle A, G, D.
161. Remarque I. — Le point de rencontre des hauteurs du triangle A, B, G est sur l'homothétique de la droite a^yS, le centre d'homothétie étant M et le rapport de similitude égal à 2 (158); il en est de même des points de rencontre des hauteurs des triangles BGD, GDA, DAB; donc :
Les points de rencontre des hauteurs des quatre triangles d'un quadrilatère complet sont en ligne droite. (Autre démonstration n" 163).
162. Remarque IL — La parabole qui a pour foyer le point M et pour tangente au sommet la droite a^yS est tangente aux quatre droites A, B, G, D. Réciproquement, toute parabole tangente aux quatre droites aura pour foyer le point M et pour tangente au sommet la droite aj3yo.
La directrice de cette parabole est la droite qui contient les points de rencontre des hauteurs des quatre triangles du quadrilatère complet formé par les quatre droites A, B, G, D.
