DROITE DE SIMSON

des diagonales sont en ligne droite ; les points de renco7itre des hauteurs des quatre triangles du quadrilatère sont en ligne droite; ces deux droites soyit perpendiculaires.

La démonstration repose sur la remarque suivante. Soient AA', BB', ce les hauteurs d'un triangle ABC, qui se coupent en H {fig. 85) ; on aura

HA. HA' = HB.HB' = HG.HC.

En effet, les quatre points B, C, B', C sont sur un même cercle ; donc

HB.HB' = HC.HC.

Cela posé, considérons le quadrilatère complet qbcdef {/îg. 86) et traçons les trois cercles qui ont pour diamètres les diagonales ad, he, cf du quadrilatère. Menons les hauteurs aa! ^ bV , ce' du

Fig. 85.

Fig. 86.

triangle abc ; soit H leur point de concours. Le cercle qui a pour diamètre ad passe par a', le cercle de diamètre be par b', le cercle de diamètre cf par c' ; les puissances de H par rapport à ces cercles sont respectivement Ho.Ha', Rb.Eb', Hc.Hc' ; le point H a donc même puissance par rapport aux trois cercles ; il en est de même des points de rencontre des hauteurs des trois autres triangles du quadrilatère complet.

Puisqu'il existe plusieurs points qui ont même puissance par rapport aux trois cercles, les trois cercles ont même axe radical [357]. Cet axe radical est la droite qui contient les points de rencontre des hauteurs; les centres des trois cercles, qui sont les milieux des diagonales, sont en ligne droite [357].

Nous avons démontré en passant la proposition suivante : Les cercles décrits sur les trois diagonales d'un quadrilatère complet comme diamètres ont même axe radical.

Cercle des neuf points.

164. Lemme. — Le symétrique du point de rencontre des hauteurs d'un triangle par rapport à un côté est sur le cercle circonscrit au triangle.

En effet, soient un triangle ABC, H le point de rencontre des hauteurs. H' le symétrique de H par rapport au côté BC.

Si les deux angles B et G sont aigus {fig. 87), les points H et A sont d'un même côté de BG [236] et l'angle BHG est le supplément de A; les points A et H' sont de part et d'autre de BC, et les angles BAC et BH'G =BHC sont supplémentaires; donc le point H' est sur le cercle circonscrit au triangle ABC.

Si l'un des angles B ou G est obtus [fig. 88), les points H et A sont de part et d'autre de BG et l'angle BHG est égal à l'angle A [236]. Il en résulte que H' est du même côté que A par rapport à BC et que l'angle BH'G est égal à l'angle BAC; donc H' est sur le cercle circonscrit au triangle.

165. Théorème. — Dans un triangle ABC, les milieux a, è, c, des côtés, les milieux p, q, r des droites qui joignent le point de rencontre H des hauteurs aux sommets, les pieds a, ^, y des hauteurs sont sur un même cercle [fig. 89).

Ce cercle est appelé le cercle des neuf points relatif au triangle ABC.

En effet, soit (M) le cercle homothétique du cercle (0) cir-