GO GH

Oa HÂ

Le point G est donc le point de concours des médianes du triangle ABG. Ce pointG est le second centre de similitude des cercles (0) et (M) ; quand on prend G comme centre de simili-

tude, les homologues de A, B, G sont les points a, b, c; il en résulte que la tangente en a au cercle des neuf points est parallèle à la tangente en A au cercle circonscrit au triangle ; donc la tangente au cercle des neuf points en a et la droite BC sont deux droites également inclinées sur la bissectrice de l'angle A du triangle .

168. Remarque III. — H est un centre d'inversion des cercles (0) et (M) ; par rapport à ce centre, les points A, B, G ont respectivement comme antihomologues les points «, p, y. Soient alors

Fig. 90. ;

D, E, F (fig. 90) les points de rencontre respectifs des droites Py, ya, a^ avec les droites BC, CA, AB ; ces points D, E, F seront situés (130) sur l'axe radical des cercles (0) et (M).

169. Théorème de Feuerbach. — Le cercle des neuf points est tangent au cercle inscrit et à chacun des cercles exinscrits au triangle ABC {fig. 91).

En effet, soient (I) le cercle inscrit au triangle, (I') le cercle exinscrit situé dans l'angle BAC, D et D' les points de contact de ces cercles avec le côté BC. On a [233] :

BD=:CD' = ?J — ô;