DD

Menons la secondé tangente commune intérieure ST aux cercles (I) et (!') ; elle coupe BG en R ; les deux droites BG

Fig. 91.

et ST sont symétriques par rapport à la bissectrice de Tangle A; donc ST est parallèle à la tangente en a au cercle des neuf points (167).

Les points I et F divisent harmoniquement le segment AR, car BI et Bl' sont les bissectrices de l'angle B ; les projections, a, R, D^ D' des points A, R, I, F sur BG formeront aussi une division harmonique ; donc

aD^ = àRxaoL.

Gela posé, faisons une inversion ayant pour origine a et pour puissance aD^; les cercles I et F se transforment en euxmêmes, car a[f est la puissance de a par rapport aux cercles I et F. Le cercle des neuf points se transformé en une droite, passant par le point R, inverse du point a et parallèle à la tan-

gente en a au cercle des neuf points; par conséquent l'inverse du cercle des neuf points est la droite ST; cette droite ST étant tangente aux cercles I et F, il en est de même du cercle des neuf points, qui est la figure inverse de ST.

EXERCICES (Ire série).

1. A, B, C, D étant quatre points en ligne droite, on a la relation

AB„CDh-AC.DB + AD.BC = 0.

2. A, B, C étant trois points en ligne droite, on désigne par A le conjugué harmonique de A par rapport au segment BG, par B' celui de B par rapport à AG et par G' celui de G par rapport à AB; démontrer que G et G' sont conjugués par rapport au segment A'B'.