Étant données deux équations du second degré

Aa;2-+-Ba;H-Cr= 0, A'ip2 + B'a;4- G' = 0,

trouver la relation qui doit exister entre les coefficients A, B, C, A', B', C', pour que les points qui ont pour abscisses les racines de la première équation soient conjugués harmoniques par rapport au segment déterminé par les points qui ont pour abscisses les racines de la deuxième équation.

4. Gonstruire une division harmonique connaissant les longueurs des deux segments conjugués.

5. Deux droites OA, OA' forment un faisceau harmonique avec les droites OB, OB'; construire ce faisceau connaissant les angles AOA', BOB'.

6. Soient A, B, G, M quatre points en ligne droite, a, ^, y les conjugués harmoniques du point M par rapport aux segments BG, CA, AB. Démontrer que le point M a le même conjugué harmonique par rapport aux segments Aa et (iy-

7. Les segments AB et CD étant conjugués harmoniques, soient A' et B' les conjugués de D par rapport aux segments AG et BG.

"Démontrer que GD divise harmoniquement A'B'.

8. Soient ABC un triangle, 0 un point de son plan, A', B', C les points où les droites qui joignent le point 0 aux sommets du triangle coupent les côtés opposés, D, E, F les points de rencontre des droites BC et B'C, CA et C'A', AB et A'B'. Démontrer que les points D, E, F sont en ligne droite.

9. Soient Aa, B?, Cy les droites symétriques des droites AO, BO, CO (exercice précédent) par rapport aux bissectrices des angles A, B, C. Démontrer que les droites Aa, Bp, Cy concourent en un même point,

10. Si par les sommets d'un triangle on mène les tangentes au cercle circonscrit, les points où ces tangentes coupent les côtés opposés sont en ligne droite.

11. Les droites qui joignent les sommets d'un triangle aux points où les côtés opposés touchent un cercle tangent aux trois côtés du triangle concourent en un même point.

12. Une transversale coupe les côtés BC, CA, AB aux points D, E, F; soient D', E', F' les conjugués harmoniques de D, E, F par rapport aux segments AB, BC, CA :

1° Les trois droites AD', BE', CF' sont concourantes; 2° Les points D, E', F' sont en ligne droite.

13. Étant donné un triangle ABC, construire un cercle (A) ayant pour centre A et tel que B et C soient conjugués par rapport à ce cercle.

14. Si l'on construit les cercles (B) et (C) analogues au cercle (A) de l'exercice précédent, les trois cercles (A), (B), (C) sont deux à deux orthogonaux.

15. Tous les cercles qui passent par un point A et qui sont conjugués par rapport à deux points P et P' passent par un second point A'.

16. Lieu des points tels que leurs polaires, par rapport à trois cercles quelconques, concourent en un même point. — Lieu du point de concours des polaires.

17. Mener un cercle passant par un point P et tel que la polaire d'un point donné A soit une droite donnée «.

18. Mener un cercle tangent à une droite donnée D et tel que la polaire d'un point donné A soit une droite donnée a. i

19. Mener par un point un cercle de rayon donné coupant orthogonalement un cercle donné.

20. Mener un cercle de rayon donné tangent à une droite donnée et coupant orthogonalement un cercle donné. "

21. Les droites qui joignent les sommets d'un triangle ABC à un point 0 de son plan coupent les côtés opposés en A', B', C. On mène le cercle qui passe par les trois points A', B', C; ce cercle coupe encore les côtés BC, GA, AB en A", B", G". Démontrer que les droites A A", BB", GG" sont concourantes.

22. Les polaires d'un centre de similitude de deux cercles, par rapport à ces cercles, sont équidistanles de leur axe radical.

23. Soient A et B deux cercles, R un point de rencontre d'une tangente commune intérieure et d'une tangente commune extérieure à ces cercles; les polaires de R par rapport aux cercles A et B sont rectangulaires et se coupent en un point qui a même polaire par rapport aux deux cercles.

24. Les pôles de l'axe radical de deux cercles par rapport à ces deux cercles divisent harmoniquement le segment qui a pour extrémités leurs centres de similitude.

25. Étant donné un triangle ABC, construire un cercle 0 tel que les tangentes issues de A, B, G au cercle 0 aient respectivement pour longueurs les côtés BG, GA, AB du triangle.

26. A, B, G étant trois points quelconques, trouver le lieu des centres d'inversion S tels que si A', B', C sont les inverses de A, B, C, A'B' = B'G'.

27. Etant donné un triangle ABC, trouver uq centre d'inversion S tel que les inverses A', B', G' de A, B, G forment un triangle équilatéral. r

28. Transformer par inversion deux cercles donnés en deux cercles de même rayon. — Lieu des centres d'inversion.

29. Transformer par inversion trois cercles donnés en trois cercles de même rayon.

30. Transformer par inversion trois cercles donnés en trois cercles ayant leurs centres en ligne droite. — Lieu des centres d'in.version.

31. Soient r et r' les rayons de deux cercles, d la distance de leurs centres, p et p' les rayons des cercles inverses, o la distance de leurs centres. Établir la relation

32. Soient G et G' deux cercles inverses, A et B deux points de G, A' et B' leurs inverses ; démontrer que si la droite AB passe par un point fixe, il en est de même de A'B'.

33. Les cercles qui sont orthogonaux à un cercle fixe et qui touchent un autre cercle sont tangents à un second cercle.

34. Construire un cercle passant par un point donné, tangent à une droite donnée et coupant orthogonalement un cercle donr^é.

35. Le cercle circonscrit à un triangle étant donné, indiquer dans quelle région du plan doit se trouver le point de rencontre H des hauteurs; le point H étant donné dans cette région, montrer qu'il existe une infinité de triangles inscrits dans le cercle et ayant leur point de rencontre des hauteurs en H. Lieu des pôles des côtés de ces triangles par rapport au cercle donné.

EXERCICES (2e série).