ÂA'IJ) = (BB'IJ

Construction géométrique du point J.

5. A, A', B, B', C, G' étant des points d'une droite, trouver un point M de cette droite tel que

(ABCM) = A'B'C'M.

Discussion. — Construction géométrique.

6. Dans deux divisions homographiques de même base on connaît le milieu 0 des points limites et deux couples de points correspondants (A, A') et (B, B'). — Construire les points limites.

7. Étant donnés sur une droite trois couples de points (A, A'), (B, B'), (C, C), trouver un point S tel que les angles ASA', BSB', CSC soient égaux.

8. On considère toutes les correspondances homographiques qui, à deux points donnés A et B d'une droite, font correspondre les points A' et B' de la même droite. Démontrer que les points doubles de ces correspondances homographiques forment une involution.

9. Deux droites divisées homographiquement peuvent toujours être placées l'une sur l'autre, de manière que les deux divisions soient en involution.

10. Une involution étant définie par deux couples de points correspondants, trouver deux points correspondants situés à une distance donnée l'un de l'autre.

11. Démontrer que si (a, a'), (b, b'), (c, c') sont trois couples correspondants d'une involution, on a

ab' X bc' X ca' ■+- a'b X b'c X c'a = 0. Réciproque.

12. Dans un faisceau involutif, il existe un couple de rayons homologues également inclinés sur une direction donnée. — Construction de ce couple. Discussion.

13. Si les trois côtés d'un triangle tournent autour de trois points fixes situés en ligne droite;, et si deux sommets glissent sur deux droites fixes, le troisième sommet décrit une droite. — Deux triangles mobiles sont homologiques. — Déduire de là une démonstration de la propriété des triangles homologiques par l'homographie.

14. Si les trois sommets d'un triangle glissent sur trois droites concourantes et si deux côtés tournent autour de deux points fixes, le troisième côté tourne autour d'un point fixe.

15. Si les côtés d'un polygone tournent autour de points fixes situés en ligne droite et si tous les sommets, sauf un, décrivent des droites fixes, le dernier sommet décrit une droite.

16. Si les sommets d'un polygone glissent sur des droites fixes concourantes et si tous les côtés, sauf un, tournent autour de points fixes, le dernier côté passe par un point fixe.

17. Étant donné un triangle ABC, lui inscrire un triangle abc dont les côtés bc, ca, ab passent respectivement par des points donnés a, p, y.

18. Étant donnés un triangle ABC et un point S, on mène par S des perpendiculaires aux droites SA, SB, SC ; les droites ainsi menées coupent respectivement les côtés BC, CA, AB en a, ^, y. Démontrer que a, p, Y sont en ligne droite.

19. Étant donnés un triangle ABC, une droite D, un point S sur la droite D, on suppose que des rayons lumineux issus de A, B, C se réfléchissent en S sur la droite D ; les points où les rayons réfléchis coupent les côtés opposés sont en ligne droite.

20. Étant donnés un triangle ABC et deux droites quelconques A, A' situées dans son plan, parle point de rencontre de A et A' on

mène la parallèle A' à la droite BG ; soit a' la conjuguée harmonique de A' par rapport k A et A' ; on mène ensuite par le point A une droite a parallèle k a!. On construit de même les droites ^ et y. Démontrer que les droites a, p, y sont concourantes.

21. Étant donnés un triangle ABC, une droite L et un point I sur L", on prend les symétriques par rapport k I des points de rencontre des côtés avec L ; on joint ces points aux sommets opposés. Démontrer que les trois droites ainsi menées sont concourantes.

22. Sur une droite L, on prend arbitrairement trois points Aj B, G ; sur une autre droite L', trois points A', B', C ; démontrer que les points de rencontre a, |3, y des couples de droite BG' et CB', CA' et AC', AB' et BA' sont en ligne droite.

23. Énoncer le théorème déduit du précédent par polaires réciproques. En donner une démonstration directe. .

24. Étant donnés un quadrilatère complet et une droite L, oh prend, sur chaque diagonale, le point qui est le conjugué harmonique du point de rencontre de L par rapport aux extrémités de la diagonale. Démontrer que les trois points ainsi obtenus sont e^ ligne droite.

25. Énoncer le théorème déduit du précédent par polaires réciproques. En donner une démonstration directe.

26. A, B, G, D étant quatre points d'un cercle^ le rapport anharmonique (ABGD) est égal k . . V. ,

ACXBD BGXAD •

27. Les points fx et \i! où une tangente mobile k un cercle rencontre deux tangentes lixes décrivent des divisions homographiques (95). Former l'équation de cette correspondance- — Réciproque. .

28. Si de chaque point d'une droite D on mène les tangentes k un cercle, les points où ces tangentes coupent une tangente fixe sont en correspondance involutive. Construire les points doubles et le point central de cette involution. , ^. . . -

29. Un cercle est tangent aux côtés du triangle ABG, une tangente mobile au cercle rencontre le côté BG en D; on prend le

point d'intersection M de la tangente mobile et de la polaire de D par rapport aux côtés AB, AG. Lien du point M.

30. Sur le cercle circonscrit à un triangle ABC on. prend un point variable M; la polaire de M par rapport aux droites AB, AC coupe BC en D ; démontrer que la droite MD passe par un point fixe.

31. Étant donnés deux cercles C et C et une tangente commune A à ces cercles, par un point quelconque M du plan on mène les tangentes au cercle C qui coupent A en a et [j.' ; par [jl et \j.' on mène les tangentes, autres que A, au cercle C ; ces tangentes se rencontrent en un point M'. Démontrer que si le point M décrit une droite, il en est de même du point M'.

32. Deux cercles C et C se coupent en un point A ; soit D une droite quelconque coupant le cercle G en M et N ; les droites AM, AN coupent le cercle G' en M' et N'; on mène la droite D' qui passe par M' et iN'. Démontrer que si la droite D tourne autour d'un point fixe, il en est de même de la droite D'.

33. Soient ^ et y les polaires de deux points B et C par rapport à un cercle, A un point de la droite BC ; par le point A on mène une transversale quelconque rencontrant ^ en & et y en c Démontrer que les droites Bc et db se coupent sur la polaire du point A par rapport au cercle.

34. Deux triangles polaires réciproques par rapport à un cercle sont homologiques.

35. Soient ABC, A'B'C deux triangles; si les perpendiculaires menées respectivement de A, B, C sur les droites B'C, C'A', A'B' sont concourantes, il en est de même de celles menées respectivement de A', B', C sur les côtés BC, GA, AB.

36. Étant donnés un triangle ABC et un point 0, à chaque droite a passant par le point A on fait correspondre la droite a', qui est la conjuguée de a dans le faisceau involutif dont un rayon rayon double est AO et dont AB et AG sont deux rayons correspondants; de même, à des droites p et y passant par B et C on fera correspondre, suivant la même loi, des droites P' et y'. Démontrer que :

i" Si les droites a, p, y sont concourantes, il en est de même des droites a', ^', y'; "

2° Si les droites «, p, y rencontrent les côtés BC, CA, AB en des points situés en ligne droite, il en est de même des droites a', ^', y',

37. Lieu des points dont le rapport des puissances par rapport à deux cercles donnés est constant.

38. Par un point S de l'axe radical d'un faisceau de cercles on mène des perpendiculaires sur les polaires de S par rapporta tous les cercles du faisceau. Lieu des pieds de ces perpendiculaires.

39. Étant donnés deux cercles 0 et 0', on considère toutes les transversales L qui coupent les cercles suivant deux segments conjugués harmoniques. Lieu des projections des centres des cercles sur les droites L. Enveloppe des droites L.

40. Soient G et C deux cercles, S et T leurs centres de similitude. Le cercle qui a pour diamètre ST appartient au faisceau défini par les cercles C et C.

41. Condition pour qu'il existe un cercle commun à deux faisceaux. Condition pour qu'il existe un cercle orthogonal à tous les cercles de deux faisceaux.

42. On considère deux faisceaux non conjugués de cercles. Démontrer que tout cercle A du premier faisceau est orthogonal, en général, à un seul cercle B du second; les centres des cercles A et B décrivent des divisions homographiques.

43. Construire un cercle d'un faisceau donné sachant que deux points donnés A et A' sont conjugués par rapport à ce cercle.

44. Tout cercle qui en coupe deux autres en des points antihomologues coupe ces cercles sous le même angle (cercle isogonal).

45. Réciproquement, quand un cercle est isogonal à deux cercles donnés, il les coupe en quatre points qui sont deux à deux antihomologues.

46. Lieu des centres des cercles isogonaux à trois cercles donnés.