Par chaque point M d'un cercle C on mène les tangentes k

un cercle C ; ces tangentes coupent le cercle C aux points P et Q ; démontrer que la droite PQ enveloppe un cercle appartenant au faisceau défini par les cercles G et C.

48. Les droites de Simson qui correspondent à deux points diamétralement opposés du cercle circonscrit sont rectangulaires et se coupent sur le cercle des neuf points.

49. Par chaque point du cercle des neuf points passent trois droites de Simson. Construire ces trois droites.

50. Soient ABC un triangle, H le point de concours des hauteurs. Toute droite de Simson relative au triangle ABC est aussi droite de Simson pour les triangles BCH, CAH, ABH.

51. Étant donnés un cercle, une droite D et un point M du cercle, existe-t-il des triangles inscrits au cercle et tels que leur droite de Simson relative an point M soit la droite D? Si le problème est possible, il admet une infinité de solutions ; lieu des centres de gravité de tous ces triangles.

52. Étant donné un triangle ABC, on prend son symétrique A'B'C par rapport à un diamètre du cercle circonscrit. Lesperpen^ diculaires menées de A',B',C' respectivement sur BC, CA, AB concourent en un point M du cercle circonscrit.

53 Soient S et T les centres de deux faisceaux homographiques ; si les deux rayons du faisceau S qui sont parallèles à leurs correspondants sont rectangulaires, la correspondance homographique possède la propriété suivante : SA et TA' étant deux rayons correspondants quelconques, au rayon du faisceau S perpendiculaire à TA', correspond le rayon du faisceau T perpendiculaire à SA. Réciproque. Deux faisceaux homographiques possédant cette propriété sont définis par deux couples de rayons correspondants.

54. Etant donnés deux points B et C et une droite D, on considère tous les points A tels que la droite D soit une droite de Simson relative au trian'gle ABC. Démontrer que les rayons BA et GA décrivent des faisceaux homographiques possédant la propriété indiquée à l'exercice précédent. Démontrer en outre que les cercles

des neuf points relatifs a tous les triangles ABC forment un faisceau.

55. Etant donnés un triangle ABC et une droite D, on désigne par a, p, y les points de rencontre de la droite D avec les côtés BC, CA, AB et par a, b, c les projections de A, B, C sur D. Pour que la droite D soit droite de Simson relativement -an triangle ABC, il faut et il suffit que les segments ax, b&, cy aient le même milieu.

,56. A, B, C, D étant quatre points quelconques du plan, les cercles des neuf points relatifs aux triangles BCD, CDA, DAB, ABC ont un point commun I; il existe deux droites A et A' qui sont droites de Simson relativement aux quatre triangles ; ces deux droites sont rectangulaires et passent par I.