CHAPITRE I POLYGONES GAUCHES

170. Définitions. — Soient A, B, C, . . ., K, L des points quelconques de l'espace ; joignons par une droite le point A au point B, puis le point B au point C, . . . , le point K au point L. La figure ainsi formée est une ligne brisée gauche ; A est le premier sommet, B le second, ... ; AB le premier côté, BG le second^ ... ; ABC le premier angle, BGD le second, ... ; (ABGD) le premier dièdre, (BGDE) le second, ... 11 en résulte que si la ligne brisée a n sommets, elle aura n — 1 côtés, n — 2 angles et n — 3 dièdres.

Si deux lignes brisées ont le même nombre de sommets, on appelle sommets homologues, côtés homologues, angles homologues, dièdres homologues, les sommets, côtés, angles et dièdres qui occupent le même rang dans les deux lignes.

Il est évident qu'on peut construire une ligne brisée en se donnant arbitrairement les valeurs des côtés, angles, dièdres de cette ligne. Quand on a placé la portion ABC, la ligne est complètement déterminée. (On suppose qu'on donne non seulement la grandeur des dièdres, mais aussi leurs sens [551]).

Si deux lignes brisées sont superposables, les côtés homo-

GUICUARD. — TRAITÉ DE GÉOM. H 8

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logues, les angles homologues, les dièdres homologues sont égaux. Réciproquement, si ces égalités existent, les lignes sont superposables, car, d'après la remarque qui précède, si l'on fait coïncider la portion A'B'C de la seconde ligne avec la portion ABC de la première, la seconde viendra coïncider partout avec la première.

Le nombre des éléments égaux étant 3n — 6, on en conclut qu'il faut 3n — 6 conditions pour exprimer l'égalité de deux lignes brisées de n sommets.

171. Un polygone gauche est une ligne brisée fermée. On peut construire un polygone gauche en joignant le dernier sommet au premier dans une ligne brisée. Si un polygone gauche a n sommets, il aura n côtés, n angles et n dièdres. Nous supposerons toujours que dans un polygone gauche on indique le rang des sommets; on en déduit le rang des côtés, des angles et des dièdres.

Quand deux polygones gauches ont le même nombre de sommets, on appelle sommets homologues, côtés homologues, angles homologues, dièdres homologues, les sommets, côtés, angles et dièdres qui occupent le même rang dans les deux polygones.

Si deux polygones sont superposables, les côtés homologues, les angles homologues, les dièdres homologues sont égaux. On dit que les deux polygones sont égaux.

Pour que deux polygones soient égaux, il faut et il suffît que les lignes brisées obtenues par la suppression de deux côtés homologues soient superposables. Si les polygones ont n sommets, il faudra 3n — 6 conditions pour exprimer l'égalité des deux polygones.

172. Théorème. — Si un plan P coupe les côtés AB, BG, CD, DA d'un quadrilatère gauche en des points a, h, c, d [fig. 92), on a la relation

ak 6B cG ^D ,

POLYGONES GAUCHES

En effet, soit e le point de rencontre du plan P avec la diagonale BD ; les trois points a, d, e sont en ligne droite, de

même que b,c,e. Appliquons le théorème de Ménélaiis aux triangles BAD, BCD coupés par les transversales ade, bce.

On aura ak eB ^D

6B cG eP TG^TD^ eB "

Fig. 92.

En multipliant ces deux relations membre à membre, on obtient la relation (1).

173. Réciproque. — Si sur les côtés AB, BG, CD, DA d'un quadrilatère gauche on prend quatre points a, b, c, d satisfaisant à la relation (I), ces quatre points appartiennent à un même plan.

Par les trois points a,h, c faisons passer un plan P; il coupe AD en un point d'. D'après le théorème direct, on aura

oA ^ cG c?'D ~^^'W^~c^^~d!k

En comparant avec la relation (1), on obtient d'Y) rfD.

1K ~ Ik'

par conséquent d' coïncide avec d ; donc les quatre points a, è, c, d appartiennent à un même plan.