Théorème. — Les plans menés par un point quelconque

et les arêtes d'un quadrilatère gauche coupent les arêtes opposées

AB, BG, GD, DA en des points a, 6, c, d {fig. 93) satisfaisant à

la relation

ak èB cC d\y

En effet, soient e le point où le plan mené par la diagonale

POLYGONES GAUCHES

AC et par le point 0 coupe la diagonale BD, a le point où la

droite AO perce le plan BGD. Les droites AB, Aa et le point c étant dans un même pJan, la droite Bc passe par a. On démontre de même que les droites Hb et Ce passent aussi par a.

On aura donc (71) 6B cG eD

De même, si y 6st le

point de rencontre de

CO avec le plan BAD, les droites Ae, Bt^, Da passent par y ; on

aura donc

dD ak eB

dk aB eD

En multipliant membre à membre les deux relations précédentes, on obtient la relation (1).

175. Réciproque. — Si sur les côtés AB, BC, CD, DA d'un quadrilatère gauche on prend des points cr, b, c, d satisfaisant à la relation {i), les plans aCD, 6DA, cAB, rfBG concourent en un même point.

En effet, soit 0 le point de concours des plans aCD, 6DA, cAB. Le plan mené par 0 et la droite BC coupe la droite AD en un point d'. D'après le théorème direct, on a ak 6B cG d'D

aB -^ 6G ^ cD ^ d'k

En comparant avec la relation (1) on trouve

d'D dD.

d'k ~ dk' d' coïncide avec d ; donc les quatre plans concourent en un même point.