CHAPITRE II

176. Définition. — Un faisceau de plans est formé de plans passant par une droite fixe; cette droite fixe est Vaxe du faisceau. Soient A un plan fixe du faisceau, P un plan quelconque de ce faisceau ; par un point 0 de l'axe menons un plan M perpendiculaire à l'axe ; ce plan coupe A suivant un rayon (A) et P suivant un rayon (P); pour déterminer le plan P du faisceau, il suffit de connaître le rayon (P) ; ce dernier est déterminé par son coefficient angulaire (40) qui est la tangente de l'angle que fait le rayon (P) avec le rayon (A), ou ce qui revient au même, la tangente de l'angle dièdre (A, P). Ainsi un plan quelconque P du faisceau est déterminé par son coefficient angulaire, qui est la tangente de l'angle dièdre formé par un plan origine A et le plan P.

177. Rapport anharmonique de quatre plans. — Si l'on coupe un faisceau de quatre plans par un plan, le rapport anharmonique du faisceau des quatre droites d'intersection est indépendant de la position du plan sécant.

En effet, soient A, B, G, D les quatre plans du faisceau^ Q et Q' deux plans sécants quelconques qui coupent les plans du faisceau suivant les faisceaux de droites a, b, c, d et a', b', c', d' ; si a, p, Y, 8 sont les points où les plans du faisceau sont coupés par la droite d'intersection des plans Q et Q', les droites a et a'

se rencontrent en «, b et b' en p, c et c' en y^ c? et d' en 8. Donc

(abcd) = (a^yS),

(a'/»'c'(^') = (apyS) ; par conséquent

On appelle rapport anharmonique d'un faisceau de quatre plans le rapport anharmonique du faisceau des quatre droites obtenues en coupant le faisceau de quatre plans par un plan quelconque. Si A, B, C, D sont les quatre plans du faisceau, on désigne ce rapport anharmonique par la notation (ABCD).

Si (ABCD) = — 1 5 on dit que les plans C et D divisent harmoniquement le dièdre (A, B).

Coupons en particulier le faisceau de plans par un plan perpendiculaire à l'axe. Les plans A, B, C, D seront coupés suivant les droites a, ô, c, d. On aura

sin (a, c) sin {a, d)

(ABCD) rz {abcd) =

sin (6, c) " sin (b, d)

sin (A, G) ^ sin (A, D)

sin(B, G) sin(B, D)

178. Théorème. — Le rapport anharmonique des quatre points d'intersection d'une transversale avec les quatre plans d'un faisceau est égal au rapport anharmonique de ces quatre plans.

En effet, ces deux rapports sont égaux à celui du faisceau des quatre droites obtenues en coupant les quatre plans par un plan quelconque mené par la transversale.

179. Faisceaux liomojjraphiques. — On peut établir une correspondance entre les plans de deux faisceaux par une relation entre les coefficients angulaires des plans correspondants.

Gette correspondance sera homographique si le rapport anharmonique de quatre plans quelconques du premier faisceau est égal à celui de leurs correspondants.

Goupons les plans du premier faisceau par une droite L, ceux du second par une droite L'; un plan du premier faisceau

coupe la droite L en M, le plan correspondant du second faisceau coupe L' en M'; on établit ainsi une correspondance entre les points des droites L et L'; cette correspondance est homographique, car le rapport anharmonique.de quatre points de L est égal à celui des quatre plans correspondants du premier faisceau, par conséquent à celui des quatre plans correspondants du second faisceau, et par suite à celui des quatre points correspondants de L'.

On voit de même que, inversement, si M et M' décrivent sur L et L' des divisions homographiques, les plans menés par M et un axe D et les plans menés par M' et un axe D' décrivent des faisceaux homographiques.

Si l'on coupe des faisceaux de plans homographiques par un plan quelconque, on obtient deux faisceaux de droites homographiques.

180. Quand deux faisceaux homographiques ont le même axe, on appelle plans doubles les plans qui coïncident avec leurs homologues.

Les propriétés des faisceaux de droites permettent d'énoncer les résultats suivants :

Deux faisceaux homographiques de même axe ont au plus deux plans doubles (48) .

Le rapport anharmonique de deux plans doubles et de deux plans correspondants quelconques est constant.

181. Deux faisceaux homographiques de même axe sont en involution ou forment un faisceau involutif lorsqu'il existe une transversale qui les coupe suivant deux divisions en involution.

On démontre, comme au n° 50, que :

Si deux faisceaux de plans de même axe sont en involution, toute transversale les coupe suivant des divisions en involution .

Donc:

Si deux faisceaux de plans de même axe sont en involution, tout plan les coupe suivant des faisceaux de droites en involution.

Les propriétés des faisceaux de droites en involution permettent d'énoncer les résultats suivants :

Dans deux faisceaux de plans en involution, tout plan considéré successivement comme appartenant au premier et au second faisceau a le même homologue.

Réciproquement, si dans deux faisceaux homographiques de plans de même axe, il existe un plan qui, considéré successivement comme appartenant au premier et au second faisceau, a le même homologue, les deux faisceaux sont en involution.

Dans un faisceau de plans en involution, il existe au plus deux plans doubles ; les plans doubles forment un faisceau harmonique avec deux plans correspondants quelconques.