Théorème, — Pour que les trois droites Sx, S^, Sy
[fig. 95) soient situées dans un même plan, il faut et il suffit que
Von ait
sin ySA
sinaSB sin pSG ^^^ sin aSG ^ sin pSA
sin ySB
Goupons, en effet, la figure par un plan P; pour que les trois droites considérées soient situées dans un même plan, il faut et il suffit que leurs traces a, fi, Y soient en ligne droite, c'est-à-dire que l'on ait (69)
aB ^G yA
En remplaçant dans cette équation les rapports par leurs valeurs fournies par les formules (3), on trouve, après simplification, la relation (4).
Fig. 95.
185. Lemme. — Si SB, SG, Sa sont trois droites d'un même plan {fig. 96), SA une droite quelconque, on a sin aSB sin (aSAB) sinASB sinaSG "" sin(aSAG)"^sinASG' ^
TRIEDRES
Remarquons d'abord que les deux membres de la relation
précédente ont le même signe, car le rapport des sinus des angles aSB et aSC a évidemment le même signe que celui des sinus des dièdres aSAB et aSAG ; il reste à démontrer que les deux membres ont la même valeur absolue. Pour cela, je coupe la figure par un plan quelconque, qui coupe les droites SA, SB, SG, Sa en A, B, G, a ; du point a j'abaisse les perpendiculaires aô, ac sur les plans SAG, SAB. Nous allons de deux manières différentes évaluer le rapport des volumes SABa et SAGa. On a d'abord SABx aireBSa SB.SasinaSB SBxsinaSB
Fig.
SAGa aireGSa
D'autre part, on a
SABa SAGa
ac
Le rapport — est égal au rapport des sinus des dièdres aSAB
SG.SasinaSG SGxsinaSG
aire ASB ac ■X-T-
aire ASG
^.^ , aire ASB , , , SB.sinASB
et aSAG; le rapport — : — r-^-^ est égal a
aire ASG
SABa sin (aSAB)
SG. sin ASG SB.sinASB
On aura
SAGa sin (aSAG) SB . sin ASG
En égalant les deux valeurs du rapport des volumes, on obtient la relation qu'il s'agissait d'établir.
186. Théorèmes. — En appliquant ce lemme aux rapports qui figurent dans les relations (1) et (4), on obtient les théorèmes suivants:
I. — Pour que les plans aSA, pSB, commune, il faut et il suffit que l'on ait
ySG aient une droite
124 TRIÊDRES ET TÉTRAÈDRES
sm(aSAB) sin(i3SBC) sin (ySCA)
y^ — : TTITTrTTT ^^ '■ ', TTryrïT — * •
sin(aSAC) sin (pSBA) " sin (ySCB)
IL — Pour que les trois droites Sa, Sji, Sy appartiennent à un même plan, il faut et il suffit que Von ait
sin (aSAB) sin(pSBC) sin (ySCA)
sin (aSAC) ^ sin (SSBA) ^ sin (ySGB) " "^ ' '
187. Remarque. — Les théorèmes qui précèdent jouent dans la géométrie du trièdre un rôle analogue à celui quejouent dans la géométrie du triangle les théorèmes de Ménélaiis et de Céva. Ils permettent de voir si des plans menés par les arêtes d'un trièdre ont une droite commune ou si des droites menées par le sommet dans les faces d'un trièdre appartiennent à un même plan. En voici quelques applications :
Les plans menés par les arêtes d'un trièdre et les bissectrices des faces opposées ont une droite commune.
Il suffit d'appliquer le théorème du n° 183, chaque rapport de sinus est ici égal à — 1 .
Les bissectrices extérieures des faces d'un trièdre appartiennent à un même plan.
On applique le théorème du n° 184, chaque rapport de sinus est égal à + 1 .
Les plafis bissecteurs des dièdres d'un trièdre ont une droite commune.
Les plans bissecteurs extérieurs des dièdres d'un trièdre coupent les faces opposées suivant des droites qui appartiennent à un mêmeplayi.
On démontre facilement ces deux derniers théorèmes par l'application des théorèmes I et H du n" 186.
Nous terminerons ces applications par le théorème suivant :
Les plans menés par les arêtes d'un trièdre perpendiculairement aux faces opposées ont une droite commune.
En effet, soient Sa, S^, Sy les projections de SA, SB, SG sur
TÉTRAÈDRES
les faces opposées {fig. 97). D'un point A de l'arête SA abaissons
la perpendiculaire Aa sur SBC ; du
point a menons les perpendiculaires
aB, aC à SB et à SG. Les droites AB,
AG seront ainsi perpendiculaires à
SB et à SG; les angles ABa, AGa
sont les angles plans des dièdres B
^ ^ 1 , , sin aSB
et G. Gela pose, le rapport — — -rrr- ^'^ sin aSG
aB
a même valeur absolue que — ^rou
aL<
que
on voit facilement que le premier et le dernier
rapport sont toujours de signes contraires; donc sin aSB cotg B
sinaSG On aurait de même
sin^SG sin pSA sin ySA sin ySB
coter G
cotg G cotg A cotg A coteB
On vérifie que la relation (1) du théorème 183 est satisfaite.
Tétraèdres.
188. Soient ABCD un tétraèdre, ^, r,, ^, X, [j., v des points situés sur les arêtes AB, AG, AD, GD, DB, BG. Nous allons chercher : 1° dans quel cas les droites ^>, tq[ji, Çv passent par un même point; 2° dans quel cas les six points ?, tj, Ç, X, [ji, v sont situés dans un même plan.
189. Théorème. — Si les droites ^X, rnx, Çv concourent en un point 0, dans chaque face du tétraèdre {fig. 98), les droites qui joignent les sommets aux points situés sur les côtés opposés sont
TRIÈDRES ET TÉTRAÈDRES
concourantes ; réciproquement, si la propriété précédente est vérifiée pour trois faces du tétraèdre, les droites ^X, TjJji, Çv sont concourantes.
En effet, supposons que les droites ^X, r^\j., Çv concourent en 0 ; soit h le point où la droite BO coupe la face AGD. Les
trois droites BA, B6 et SX étant dans un même* plan, les points A, b, 1 sont en ligne droite; il en est de même des points G, b,^ et D, è, iq; donc, dans la face AGD, les trois droites AX, CC, Dr) sont concourantes; même démonstration pour les autres faces.
Réciproquement, supposons que la propriété F's- ^8- énoncée existe pour les
faces opposées aux sommets B, G, D ; soient b, c, d les points de concours correspondais ts. Les droites Bb, Ce étant situées dans le plan BGC se rencontrent en un point 0 ; on voit de même que Bd doit rencontrer B6 et Gc, ce qui ne peut avoir lieu que de deux façons: ou bien ï)d passe par le point de rencontre 0 de Bè et de Gc, ou bien [)d est situé dans le plan des droites B6, Gc. Gette dernière hypothèse est à rejeter, car le plan B6, Gc coupe l'arête AD en C; donc déjà les trois droites B6, Gc, Dd concourent en un point 0.
- D'autre part, le plan ABX contient les droites Bb et ^X ; le plan GD; contient les droites Gc, De/, ^X ; ?X rencontre donc les droites Bb, Ce, Dd; donc ^X passe par 0. Même démonstration pour les droites ri[jL et ^v.
190. Remarque. — il résulte de ce qui précède que, pour que les trois droites ^X, r^jt, ^v soient concourantes, il faut et il suffit que l'on ait les trois relations suivantes :
TÉTRAÈDRES
r)G ^ XD ^
ÇA kD
