Théorème. — Etant données quatre droites A, B, G, D

{fig. 100) telles que deux quelconques de ces droites n'appartiennent pas à un même plan^ il existe en général au plus deux droites qui rencontrent ces quatre droites.

Prenons sur la droite G un point quelconque M.

Les plans menés par M et les droites A et B coupent la droite D en P et Q; quand le point M se déplace sur G, les points M et P décrivent des divisions homographiques : il en est de même des points M et Q ; donc P et Q décrivent sur D des divisions homographiques.

Fig. 100.

TÉTRAÈDRES ' 129

Gela posé, soit A une droite qui s'appuie sur les quatre droites données et qui coupe G en M et D en N ; les plans (A, M), (B,M) passent par N; P et Q sont alors confondus avec N ; donc N est un point double des divisions homographiques décrites par P et Q; réciproquement, si N est un tel point double, la droite MN, étant située dans les plans (A,M),(B, M), rencontre A et B.

En général deux divisions homographiques ont deux points doubles ; donc, en général, il existe deux droites qui rencontrent les droites données.

194. Remarque. — S'il existe trois droites rencontrant les droites A, B, G, D, les divisions homographiques décrites par P et Q ont trois points communs, et par conséquent sont identiques ; donc par tout point M de G on peut mener une droite rencontrant les trois autres; de même, dans un plan quelconque (A, M) mené par A, il existe une droite rencontrant les trois autres. Donc:

Si quatre droites, dont deux quelconques n^ appartiennent pas à un même plan, ont trois transversales communes, elles en ont une infinité ; par chaque point d'une des droites passe une de ces transversales ; dans chaque plan mené par l'une de ces droites est située une de ces transversales.

On dit alors que les quatre droites forment un quadruple hyperboloide.

195. Théorème. — -Si quatre droites a, b, c, d, issues des sommets A^B^GjD (fig. 101) d'un tétraèdre, forment un quadruple hyperboloide, par chaque sommet on pourra mener une droite rencontrant les trois droites issues des trois autres sommets ; réciproquement, si cette propriété est vérifiée pour trois sommets du tétraèdre, les quatre droites forment un quadruple hyperboloide.

En effet, si les quatre droites forment un quadruple hyperboloide, par tout point de la droite a (194) passe une transversale commune aux quatre droites; donc par le point A on peut

130 TRIÈDRES ET TÉTRAÈDRES

mener une droite rencontrant les droites b, c, d; même conclusion pour les autres sommets.

Réciproquement, si la propriété indiquée est vérifiée pour

Fig. 101.

trois sommets du tétraèdre, les quatre droites ont trois transversales communes; donc (194) elles forment un quadruple hyperboloïde.

196. Remarque. — Pour que les droites a, b, <;, d forment un ueri/aé/e quadruple hyperboloïde, il faut vérifier en outre que deux quelconques d'entre elles n'appartiennent pas à un même plan. Nous allons examiner ce qui arrive, lorsque la condition indiquée au n« 195 est vérifiée pour les sommets R, C, D du tétraèdre et que parmi les quatre droites a, b, c, d, il en existe plusieurs qui sont situées dans un même plan.

1° Les droites b et c sont situées dans un même plan II (fig. 101).

Par le point R on peut mener une droite b' rencontrant c, d, a, et par le point C une droite c' rencontrant b, d., a; les droites b' et c' sont évidemment situées dans le plan n ; les droites a et d n'étant pas situées dans le plan n et devant rencontrer b' et c', passent par le point de concours -k de b' et c'. Les droites a et d appartiennent ainsi à un même plan lli, le

TÉTRAÈDRES 131

point de concours n de a et rf étant dans le plan n. De même, par le point D on peut mener une droite d! rencontrant a,b,c; cette droite est évidemment dans le plan ili, et comme elle rencontre b et c, elle passe par leur point de concours tu. Il en résulte que la droite qui joint le point A au point de concours de 6 et c rencontre aussi la droite d ; c'est a'.

2° Les droites a et d sont situées dans un même plan.

Par le point B on peut mener une droite b' rencontrant a, d, c; cette droite b' devra passer par le point de concours de a et d. La droite c rencontrant b' est dans le plan mené par BG et le point de rencontre de a avec d; il en est de même de la droite h; on retombe dans le cas précédent.

3° Une droite en rencontre deux autres.

Supposons par exemple que b rencontre c et d ; b et c étant dans un même plan, il en est de même (2°) de a et c? et le point de concours de a et c? est dans le plan de b et c, c'està-dire ici sur la droite b ; la droite a passe donc par le point de rencontre de 6 et rf ; on voit de même qu'elle passe par le point de rencontre de 6 et c ; donc les quatre droites sont concourantes. On peut encore dans ce cas mener par A une droite rencontrant b, c, d; c'est la droite a elle-même.

La discussion qui précède permet d'énoncer les résultats suivants :

La condition indiquée au n" 195 étant vérifiée pour trois sommets du tétraèdre :

1° Elle est vérifiée pour le quatrième sommet ;

2° Si, parmi les quatre droites, on ne peut pas en trouver deux appartenant à un même plan, ces droites forment un véritable quadruple hyperboloïde ;

3° Si deux des quatre droites appartiennent à un même plan, il en est de même des deux autres' le point de rencontre des deux premières droites est dans le plan des deux autres, et inversement;

4° Si une droite en rencontre deux autres, les quatre droites sont coyicourantes.

TRIÈDRES ET TÉTRAÈDRES