Expression analytique des conditions précédentes, -r
Je désignerai par h'a le point où le plan ABa coupe l'arête CD [fig. 102) ; par «j le point d'intersection du plan ABô avec la même arête ; enfin, par des notations analogues, les points qui ^■p correspondent aux autres arêtes .
Les trois plans BAa, GAa, DAa ayant une droite commune, les droites 66^, Cca, Drf^ sont des droites concourantes du plan BCD. L'existence de la droite a donne déjà une relation, fournie par le théorème de Céva, entre les segments de la figure. On a de même des relations analogues pour les droites b^ c, d; de telle sorte que, quelles que soient les droites a, è, c, d issues des sommets A, B, G, D, on aura le groupe des quatre équations suivantes :
àX
Ca'D
rfaB
Ci'D
dlk dbC
aie «jD
rfe'A dôB
aéB ac'D
Ôe'D
bc\
«je
*iG
c'dk
aâC
bdk
cjB
Pour qu'il existe une droite issue de A, rencontrant A, c, rf, il faut et il suffit que les trois plans AB6, AGc, M)d aient une droite commune, ou bien que dans le triangle BCD les trois droites BaJ,, Gaé, Da^ concourent, ce qui donne une nouvelle relation entre les segments. On obtient des relations analogues pour les sommets B, G, D, ce qui fournit le second groupe de relations :
aiC
«rfB
ae'D
bcD
KG
CaD
dcB
TÉTRAÈDRES 133
OjD flf^G aéB
cfâB dcA (/fc'G
Si l'on multiplie membre à membre les équations (5) et (6), on obtient une identité ; donc si les équations (5) et trois des équations (6) sont vérifiées, il en est de même de la quatrième équation (6).
Ce résultat est équivalent à celui qui a été établi géométriquement (n*^ 196, 1°).
Si l'on divise membre à membre les deux premières équations (6), on trouve
a'J) ^^ b'Jl b'^k o^ o^ b'aÇ,
OjC b'a\y 6cD aéB a^G 6jA
En divisant de même, membre à membre, les deux dernières équations (5), on aura
d'(.k CrfB b'ck a'J) aJiB b'aOi
rf'eB c[ik b'cD créB a^G ôjA
donc
(7) ^ ■(DGfl^6^)=(ABci;c:,).
On trouverait de nîême des rapports anharmoniques égaux sur les couples d'arêtes opposées BG, AD et BD, AG.
Si. les droites a et b sont dans un même plan, les points a\ et b'a sont confondus ; l'égalité (7) montre qu'il en est de même des points d'c et c'a; par conséquent les droites c et d sont aussi dans un même plan (Résultat établi géométriquement au nM96).
198. Théorème. — Si quatre droites a, b, c, d, situées respectivement dans les faces opposées aux sommets A, B^ G, D d'un
134 TRIÈDRES ET TÉTRAÈDRES
tétraèdre ABGD, forment un quadruple hyperboloïde, sur chaque face les traces des droites situées dans les trois autres sont en ligne droite ; réciproquement, si cette condition est satisfaite pour trois faces du tétraèdre, les droites appartiennent à un quadruple hyperboloïde.
En effet, si les quatre droites forment un quadruple hyperboloïde, il existera (194) dans le plan BGD mené par la droite a une transversale commune aux quatre droites ; cette transversale passe évidemment par les traces des droites b, c, d; donc ces traces sont en ligne droite.
Réciproquement, si cette condition est satisfaite pour trois faces du tétraèdre, les quatre droites ont trois transversales communes, et par suite (194) forment un quadruple hyperboloïde.
199. Remarque. — Une discussion analogue à celle du n° 196 permet d'énoncer les résultats suivants :
La condition indiquée au n<»198 étant satisfaite pour trois faces du tétraèdre:
1° File est satisfaite pour la quatrième face ;
2° Si, parmi les quatre droites, on ne peut pas en trouver deux appartenant à un même plan, ces droites forment un véritable quadruple hyperboloïde;
'S° Si deux droites sont situées dans un même plan, il en est de même des deux autres ; le point de rencontre des deux premières droites est dans le plan des deux dernières et inversement ;
4° Si une droite en rencontre deux autres, les quatre droites sont dans un même plan. :'■ j
200. Expressions analytiques. — Si l'on désigne par b'^ le point où la droite a rencontre l'arête CD, et par des notations analogues les autres points de rencontre, on aura entre les segments les huit équations obtenues en remplaçant — 1 par 4- 1 dans les équations (5) et (6).
On en conclut que la relation (7) existe aussi dans ce cas.
201. Exemples. — i" Les droites qui joignent les sommets d'un
TÉTRAÈDRES 135^
tétraèdre aux centres des cercles inscrits dans les faces opposées forment un quadruple hyperboloïde.
En effet, les plans AB6, AGc, ADcf sont dans ce cas les plans menés par les arêtes du trièdre A et les bissectrices des faces opposées; on sait que ces plans ont une droite commune (187).
. Pour que les droites a et 6 soient dans un même plan, il faut et il suffît que les bissectrices des angles CAD, CBD coupent CD au même point, c'est-à-dire que
AGxBD=ADxBG.
Les droites c et rf sont aussi concourantes. Enfin si
AB X CD = BG X AD = AC X BD, les quatre droites a, 6, c, d sont concourantes.
2° On sait que dans un triangle les points de rencontre des bissectrices extérieures avec les côtés opposés sont sur une droite A (73).
Les quatre droites ainsi obtenues dans les quatre faces d'un tétraèdre forment un quadruple hyperboloïde.
En effet, les traces des droites 6, c, d sur le plan BGD sont les mêmes que celles des bissectrices extérieures des faces du trièdre A ; ces bissectrices extérieures sont dans un même plan (187) ; donc les traces de 6, c, d sont en ligne droite.
Si AGxBD = BGxAD,
les droites a et 6 sont dans un même plan ; il en est de même des droites c et d.
Si ABxGD-r AGxBD = ADxBG,
les quatre droites a, b, c, d sont dans un même plan.
3° Les hauteurs d'un tétraèdre forment un quadruple hyperboloïde.
En effet, les plans ABb, AGc, kBd sont les plans menés par les arêtes du trièdre A perpendiculairement aux faces opposées ; donc ces plans ont une droite commune (187).
Pour que les droites a et 6 se rencontrent, il faut et il suffit
136 TRIÈDRES ET TÉTRAÈDRES
que les arêtes AB et CD soient orthogonales ; les droites c et ci se rencontreront aussi.
Si AB est orthogonal à CD et AG à BD, les quatre droites a, A, c, d sont concourantes; donc AD et BG seront aussi des arêtes orthogonales.
De là cette propriété :
Si dans un tétraèdre deux couples d'arêtes opposées sont orthogonales, il en est de même des arêtes du troisième couple.
