THÉORÈME DES PROJECTIONS

204. Théorème. — Le théorème s'étend à la projection d'une aire plane limitée par une courbe quelconque.

En effet, Taire considérée est la limite de l'aire d'un polygone inscrit dans le contour, quand les côtés du polygone tendent vers zéro; la projection de l'aire est aussi la limite de Faire des polygones projetés. Il en résulte que le théorème établi pour un polygone s'étend à une aire quelconque.

Théorème des projections.

205. Définition. — SoientD (/îg'. 105) une droite sur laquelle on a fixé un sens positif et que nous appellerons axe de projection, A un point quelconque de l'espace ; par le point A on mène un plan P perpendiculaire à la droite D; le point a

D où le plan P rencontre la droite D

est la projection du point A sur l'axe. Soient A et B deux points quelconques, a et 6 leurs projections sur l'axe, le segment ab est la pro- Fig. 105. jecfion du segment AB.

206. Théorème. — La projection d'un segment AB, situé sur un axe A (fîg. 106), est égale au produit de la valeur algébrique de ce segment par le cosinus de l'angle formé par la direction positive de l'axe de projection et la direction positive de A.

11 faut démontrer que l'on a

(1) aô = ABxcos(D, A).

Menons par le point a la droite aR parallèle à AB; elle coupe en H le plan P' qui projette B; menons Eb. La droite ab, perpendiculaire à P', est perpendiculaire à bE; dans le triangle

rectangle abU, on a . .

long, ab = long. aE X cos baU.

Or long, ab, long, al], cos baU. ont respectivement les mêmes valeurs absolues que ab, AB^ cos (D, A), ce qui montre

Fig. 106.

que les deux membres de la formule (1) ont la même valeur absolue.

Il reste à montrer qu'ils ont le même signe. Considérons le plan P mené par ka perpendiculairement à la droite D. Imaginons des mobiles se déplaçant dans le sens positif sur D et A en partant de a et A; si l'angle D, A est aigu, ces mobiles seront d'un même côté du plan P; il en serait de même si les mobiles se déplaçaient tous deux dans le sens négatif; par conséquent, comme B et è sont du même côté du plan P, AB et ab sont tous deux positifs ou tous deux négatifs; les deux membres de la formule (1) ont le même signe, puisque cos (D, a) est positif.

Si l'angle (D, A) est obtus, les mobiles qui se déplacent dans le sens positif sur D et a sont de part et d'autre du plan P ; il en est de même de ceux qui se déplacent dans le sens négatif; or B et é étant d'un même côté du plan P, il faut que AB et a^ soient de signes contraires; les deux membres de la formule (1) ont encore le même signe, cos (D, A) étant jci négatif.