RÉSULTANTE DE VECTEURS CONCOURANTS
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coupe Oy en G ; la droite OA est la diagonale du parallélogramme qui a pour côtés OB et OC ; donc (OA) = (OB) + (OC).
Il est ir qu'il n'existe pas d'autre parallélogramme ayant ses côtv jr Oa; et Oy et ayant pour diagonale OA.
On d u'on a décomposé le vecteur OA en deux autres portés sur Or. Oy.
213. ? ient Ox, Oy, Oz trois droites non situées dans un même pi i {fig. 109), OA un vecteur quelconque ; on peut tou-
Flg. 109.
jours, et ne seule manière, trouver trois vecteurs OB, OC, OD portés 1 .3Ctivement sur Ox, Oy, Oz et ayant pour résultante OA.
En eife . les plans menés par A parallèlement aux plans yz, zx, xy .. peut respectivement Ox, Oy, Os aux points B, C, D; le parallélépipède qui a pour arêtes OB, OC, OD a pour diagonale Oa ; donc
(OA) = (0B) + (0C)-f-(0D).
Il ,t clair qu'il n'existe pas d'autre parallélépipède ayant '^^ liagonale OA et ayant ses arêtes sur Ox, Oy, Oz.
Un dit qu'on a décomposé le vecteur OA en trois autres portés sur Ox, Oy, Oz.
GUICHARD. — TR.HTÉ DE GÉOM. II. 10
214. Supposons en particulier que le trièdre Oxyz soit trirectangle ; les points B, C, D sont les projections du point A sur Ox, Oy, Oz. En désignant par X, Y, Z les valeurs algébriques des composantes OB, OC, OD, par R la longueur OA, on aura
I X = Rcos(Oar, OA),
/ z = Rcos(Oz, OA).
Si Ton projette sur un axe quelconque a, on aura (211) pr. OA = pr. OB -t- pr. OC + pr. OD, et par conséquent,
(2) pr. OA = X cos {Ox, A) + Y cos {Oy, A) -4- Z cos (Oz, A) .
Projetons, en particulier, sur la direction OA ; la projection de OA est R. On aura donc
(3) R = X cos {Ox, OA) H- Y cos (Oy, OA) + Zcos (Oz, OA). En tenant compte des formules (1), on trouve
1 = cos^ {Ox, OA) + cos2 (Oy, OA; -t- cos^ (Oz, OA) et R-^ = X'--hY^-\-Z\
215. Produit géométrique de deux vecteurs. — Soient OA et OB deux vecteurs qui ont la même origine ; on appelle produit géomélrique des deux vecteurs l'expression
OAxOBxcos(OA, OB).
Nous représenterons ce produit par la notation (OA) X (OB).
Le produit OBxcos(OA, OB) est la projection du vecteur OB sur la direction OA ; donc :
Le produit géométrique de deux vecteurs est égal au produit de la longueur de l'un des vecteurs par la projection de Vautre vecteur sur la direction du premier.
Menons par le point 0 un trièdre trirectangle ; soient R la longueur OA, X, Y, Z ses composantes; soient de même Ri la longueur OB, Xi,Yi,Zi ses composantes; la projection de OB sur OA sera
Xi cos {Ox, OA) + Yi cos {Oy, OA) + Zi cos (Oz, OA),
OU, en tenant compte des formules (l),
XXi + YYi+ZZ,
Le produit géométrique des deux vecteurs est
Rxproj. de OB sur OA,
c'est-à-dire
XXi-f-YYi+ZZi.
On peut remarquer que le produit géométrique de deux vecteurs est nul dans les deux cas suivants, et dans ces cas seulement : 1° l'un des vecteurs est nul ; 2° les deux vecteurs sont rectangulaires,
216. Théorème, — Si OL est un vecteur quelconque^ OR la résultante des vecteurs OA, OB, . . . , OH, on a
(OL) X (OR) = (OL) X (OA) -F (OL) x(OB) -f- ••• -^(OL) x(OH). En effet, si l'on projette sur la direction OL, on aura
pr.OR = pr. OA -h pr. OB H Hpr.OH,
d'où
OL X pr. OR = OL X pr. OA -+- OLx pr. OB H 1- OLx pr. OH,
ce qui démontre le théorème.
Théorie des moments,
217. Sens relatif de deux vecteurs. — Soient AB et CD (fig. 110) deux vecteurs, MN une droite rencontrant AB en M et CD en N; par un point quelconque 0, menons les demidroites Ox, Oî/, Oz, ayant respectivement même direction que MN, CD et AB. Cela posé, si le trièdre Oxyz est de sens positif [552], nous dirons que le vecteur CD est de sens positif relativement au vecteur AB ; inversement, si le trièdre Oxyz est de sens négatif, le vecteur CD est de sens négatif relativement au vecteur AB.
Pour justifier cette définition, il faut montrer que le sens ainsi défini ne dépend pas de la position qu'occupe la sécante MN aux deux vecteurs, c'est-à-dire que si M'N' est une autre sécante, Ox' la demi-droite qui a même direction que M'N', les
Fig. 110.
deux trièdres Oxyz et Ox'yz ont même sens. En effet, soit n le plan mené par AB parallèlement à la droite CD ; ce plan est parallèle au plan yOz ; les points N et N' sont d'un même côté du plan n, par conséquent les demi-droites Ox et Oa;' sont d'un même côté du plan yOz ; donc les deux trièdres Oxyz et Ox'yz ont même sens.
218. Remarque I. — Si l'on permute les deux vecteurs AB et CD, cela revient à remplacer respectivement AB, CD, MN par CD, AB, NM, c'est-à-dire à faire sur le trièdre Oxyz les deux opérations suivantes : 1° permuter Oy et Oz ; 2° changer le sens de Ox. Chacune de ces opérations change le signe du trièdre ; par conséquent, après les deux opérations, le sens n'a pas changé ; donc :
Le sens relatif du vecteur CD par rapport au vecteur AB est le même que le sens relatif de AB par rapport à CD. Ce sens commun est le sens relatif des deux vecteurs.
219. Remarque II. — Soient un vecteur AB et deux vecteurs OM, OM'. Si l'on forme les trièdres qui définissent les sens deOM et OM' par rapport à AB, les droites Oz sont les mêmes pour ces deux trièdres, puisqu'elles ont la direction de AB; on peut
aussi supposer que les droites Oa; sont les mêmes, puisqu'on peut prendre (217) pour droite Ox la droite qui joint le point 0 à un point quelconque de AB; les droites Oy de ces trièdres sont les droites OM et OM'; donc :
Si M et M' sont d'un même côté du plan OAB, les vecteurs OM. et OM' ont même sens par rapport au vecteur AB ; si M et M' sont de part et d'autre du plan OAB, les vecteurs OM et OM' sont de sens contraires par rapport au vecteur AB.
2*20. Signe du volume d'un tétraèdre. — Dans la géométrie vectorielle, il s'introduit souvent les volumes de tétraèdres. Pour donner aux énoncés une forme générale, on est amené à affecter ce volume d'un signe. Pour fixer ce signe, il faut fixer l'ordre des sommets. Nous représenterons un tétraèdre par quatre lettres, qui sont les lettres des sommets, en plaçant ces lettres dans l'ordre où sont placés les sommets. Cela posé, le volume du tétraèdre (ABGD) aura même signe que le sens relatif des vecteurs AB et CD.
On voit facilement que, si l'on permute deux sommets, on change le signe du volume.
