AR B

Fis. 112.

rapport à un point I est la somme géométrique de deux vecteurs : 1" le moment du vecteur AB par rapport à un point 0; 2° /e moment de OR par rapport au point I, OR étant le vecteur de même grandeur géométrique que AB.

THÉORIE DES M03IENTS 151

Remarquons d'abord que si l'on se déplace sur une parallèle au vecteur AB, le moment ne change pas.

Par le point A menons un plan P perpendiculaire à AB ; soient o et i les projections de 0 et de I sur ce plan ; les moments de AB en 0 et I sont respectivement les mêmes qu'en o et i ; le moment de OR est le même en I et en i; il suffit donc de démontrer le théorème pour les points o et i.

Les moments op, iq du vecteur AB par rapport aux points o et i sont situés dans le plan P, les angles kop, kiq sont égaux à H- 90°, et l'on a

op = AB X Ao, iq = AB X Ai .

Menons par le point A les droites kp\ kq' qui ont respectivement même grandeur géométrique que op et iq ; si l'on fait tourner le triangle koi d'un angle égal à -+- 90° autour du point A, les points o et i viennent respectivement en o' et i', et Ton a

kp' V A B Â^- Al' -^^- ^ . : ■

Les deux triangles kp'q' et ko'i' sont semblables ; donc p'q' est parallèle à oY, et par conséquent fait un angle égal à -h 90° avec oi; donc

p'q' = AB X o'i' = AB Xoi.

p'q' a donc même grandeur géométrique que le moment de OR par rapport au point i.

Gela posé, on a l'égalité géométrique

(kq') = {kp')^{p'q'), c'est-à-dire

(iq) = (op) -H (mt OR par rapport à i).

224. Moment d'un vecteur par rapport à un axe. — Soient un axe D et un vecteur AB {fig. 113) ; prenons sur l'axe D un point quelconque 0 et soit OG le moment de AB par rapport au point 0 ; le moment du vecteur AB par rapport à l'axe D est égal, par définition, à la projection de OG sur l'axe D.

Pour justifier cette définition, il faut montrer que cette projection ne change pas si le point 0 se déplace sur D.

Tout d'abord le signe ne change pas ; prenons, en effet, sur OM = + 1. Si le sens relatif de. OM et

l'axe D un segment

Fig. 113.

AB est le sens positif, OM et OG sont d'un même côté du plan

OAB (219) et par conséquent la projection de OG sur l'axe est

positive; on voit de même que si le sens relatif de OM et AB

est le sens négatif, la projection de OG sur l'axe est négative ;

donc le signe du moment est le même que le sens relatif du vecteur

AB et d'un vecteur égal à h- 1 pris sur l'axe.

Nous allons montrer maintenant que la valeur absolue de

cette projection ne change pas. Par le point 0 menons un plan

P perpendiculaire à l'axe D ; soient a, b les projections de A

et B sur le plan P. On a

OG = AB X OH = 2 surf. OAB ; ' ^

donc *

pr . OG = OG X cos GOD = 2 surf. OAB x cos (P, OAB)

= 2 surf. Oab.

Menons du point 0 la perpendiculaire Od sur ah'; Od est

égal [535] à la longueur d de la perpendiculaire commune à AB

et à l'axe D ; si maintenant © est l'angle de AB avec l'axe D,

on a , /

a6 = ABxsin <y, . ' , ^ ,