THÉORIE DES MOMENTS

et par conséquent

pr. OG = 2 surf. Oab = ab xd = ABxdxsin <o.

Cette expression montre bien que la valeur absolue de la projection est indépendante de la position du point 0 sur D.

223. On peut donner une autre expression géométrique du moment d'un vecteur par rapport à un axe; abaissons en effet du point M la perpendiculaire MR sur le plan OAB. On aura

pr. OG = 2 surf. OAB x cos GOD = 2 surf. OAB x MR ;

donc

pr. OG = 6 vol. OMAB.

Si l'on remarque maintenant que le moment a le même signe que le volume du tétraèdre OMAB, on peut énoncer le résultat suivant :

Le moment d'un vecteur AB par rapport à un axe D est égal à 6 fois le volume du tétraèdre OMAB, OM étant un segment égal à -H 1 pris sur l'axe D.

226. Coordonnées d'un vecteur. — Soient Oxyz un trièdre trirectangle (fig. H4), OR la grandeur géométrique, OG le

moment par rapport au point 0 d'un vecteur AB,

Désignons par X, Y, Z les projections du vecteur sur Ox, Oy, Oz, par L, M, N les moments du vecteur par rapport aux mêmes axes; X, Y, Z sont les projections de OR sur les axes, L, M, N celles de OG.

Les deux droites OR et OG étant rectangulaires, leur produit géomé-

Fig. 114.

trique est nul

donc (215) LX -4- MY

NZ = 0.

Réciproquement, si les nombres X, Y, Z, L,.M, N satisfont à la relation (2), on peut leur faire correspondre un vecteur. En effet, soient OR et OG les vecteurs qui ont respectivement pour

composantes X, Y, Z et L, M, N. En vertu de la relation (2), ces droites sont rectangulaires ; donc (222) elles définissent un vecteur.

Ces six nombres X, Y, Z, L, M, N sont les coordonnées du vecteur.

227. Moment relatif de deux vecteurs. — 'Soient AB et CD deux vecteurs {fig. H5) ; le moment relatif du vecteur CD par

rapport au vecteur AB est égal au produit de la longueur AB par le moment de CD par rapport à l'axe AB.

Prenons sur AB un segment AM = +1; le moment de CD par rapport à la direction AB est égal à 6 fois le volume du tétraèdre (AMCD) (225). Or vol. (ABGD) = AB X vol. (AMCD) ; donc le moment relatif de CD par rapport au vecteur AB est égal à 6 fois le volume ABGD, ce qui montre que le moment relatif de CD par rapport au vecteur AB est le même que le moment relatif de AB par rapport au vecteur CD , Ce moment commun est le moment relatif des deux vecteurs.

228. Théorème de Varignon. — Le moment de la résultante de deux vecteurs par rapport à un point est la somme géométrique des moments de ces vecteurs par rapport au même point.

Pour faciliter la démonstration de ce théorème, nous établirons d'abord les deux lemmes suivants :

Lemme 1. — Si Von décompose un vecteur PA [fig. 116) en deux autres, l'un Va' dirigé E'ig- 116. suivant la droite OP, l'autre

Pa perpendiculaire à la droite OP, les deux vecteurs PA et Pa ont même moment par rapport au point 0.

Ces deux moments sont perpendiculaires au plan OPA et situés d'un même côté de ce plan ; donc ils ont même sens. 11 reste à montrer qu'ils ont même valeur absolue. Or mtPA = PAxOH, mtPa = PaxOP.

Les triangles semblables OPH et PAa donnent

W""lr' ^"^ PAxOH = PaxOP,

ce qui démontre le lemme.

Lemme II. — Soit PC la résultante de deux vecteurs PA et PB (fig. 117). Si l'on décompose chacun de ces trois vecteurs en deux autres^ l'un dirigé suivant OP, Vautre normal à OP, les

Fig. 117.

composantes Va, Vh, Pc normales à OP satisfont à l'égalité géométrique

(3) (Pc) = (Pa)-4-(P6).

Menons par le point P le plan n perpendiculaire à PO ; les points «5 6, c sont respectivement les projections de A, B, G sur le plan n. La figure PABG étant un parallélogramme, il en est de même de sa projection Vabc, ce qui démontre l'égalité (3).

Il résulte de ces deux lemmes que, pour établir l'égalité géométrique

(mt PC) = (mt PA) + (mt PB), il suffit d'établir que

(m» Pc) = (mt Va) + (mt Vi).

C'est cette dernière égalité que nous allons démontrer.

Soient, en effet, Oa, 03, Oy {(ig. 118) les moments de Pa, Pô, Pc par rapport au point 0.

Si l'on fait tourner la figure Vabc de -1-90° autour de l'axe OP, et si ensuite on lui imprime une translation égale à PO, les points a, 6, c viennent en des points fli, 6],Ci situés respectivement sur Oa, Op, Oy, et l'on a

0l PL ^ 2L ^ OP

Oa, 06i Oc,

Les deux figures Qa^biC^ et Oapy sont homothétiques; la première est un parallélogramme ; donc il en est de même de la seconde, et par suite

(OY) = (Oa) + (OP).

Fiff. 118.

229. Remarque I. — Le théorème (228), démontré pour deux vecteurs, s'étend de proche en proche à un nombre quelconque de vecteurs ; donc :

Le moment de la résultante de plusieurs vecteurs concourants par rapport à un point est la somme géométrique des moments de ses composantes par rapport au même point.

230. Remarque IL — En se reportant à la définition du moment d'un vecteur par rapport à un axe (22i) et à la propriété des sommes géométriques (211), on peut énoncer le résultat suivant :

Le moment de la résultante de plusieurs vecteurs concourants par rapport à un axe quelconque est la somme algébrique des moments de ses composantes par rapport au même axe.

THÉORIK DES MOMEINTS

Fig. 119.

231. Théorème. — Si OR, OG, 0R„ OG, {fig. 119) so7it respectivement les grandeurs géométriques et les moments par rapport à un point quelconque 0 de deux vecteurs AB, A,Bi, V expression

(4) (OR)x(OG0+(OR,)X(OG) est égale au moment relatif des deux vecteurs AB, AjBi.

Nous allons d'abord montrer que l'expression (4) ne change pas quand le point 0 se déplace. En effet, soient I un point quelconque, IC et ID les moments de OR et ORi par rapport au point I, IG' et IGi les moments des vecteurs par rapport au point I. On sait (223) que (IG') = (OG)-i-(IG), (IG;) = (OG0-^(ID).

On aura donc (216)

(OR) XilG;) = (OR)x(OGi) ^ (OR)X (ID), (OR,)X(IG') = (ORi)x(OG) + (OR0x(IC).

Quand on va de 0 en I, l'expression (4) augmente de