OR)-1-(ORO][(IG) + (ID

Soient (OS) la somme géométrique (OR) -h (ORi), (lE) la somme géométrique (IC)-h(ID). D'après le théorème de Varignon (228), (lE) est le moment de (OS) par rapport au point I ; (lE) et (OS) sont donc rectangulaires, et l'expression (6)

est nulle (215). Il en est de même de l'expression équivalente (5) ; donc l'expression (4) est indépendante de la position du point 0. Plaçons maintenant le point 0 en Ai {(ig. 120); OGi est nul, ORi est égal à AiBi ; l'expression (4) se réduit donc à (AiB,)X(A,G)

= AjBi X pr. de AiG sur AiBi.

Or la projection de AiG sur AiBt est le moment du vecteur AB par rapport à la direction AiBj ; il en résulte que le produit précédent est égal au moment relatif des deux vecteurs, ce qui démontre le théorème.

Fig. 120.

232. Désignons par X, Y, Z, h. M, N les coordonnées du vecteur AB (226), par Xi, Yj, Z,, L,, Mj, Ni celles du vecteur AjBi. On aura (215)

(OR) X (OGi) = XLi 4- YM, + ZNi, (ORi) X (OG) = XiL 4- YiM + ZiN ;

donc le moment relatif des deux vecteurs a pour expression

(7) XLi-4-YMiH-ZNiH-XiLxYiM-}-ZiN.

En égalant cette expression (7) à zéro, on a la relation qui existe entre les coordonnées de deux vecteurs qui sont situés dans un même plan.

Systèmes de vecteurs.

233. Définitions, — Soient Pi, Pj, . . . , Pn n vecteurs quelconques, 0 un point quelconque ; par le point 0, menons les vecteurs ORi, OR2, . . . , 0R„ qui ont respectivement même grandeur géométrique que Pi, Pg, ..., Pn; la résultante OR de ORi, OR25 . . . est la résultante générale du système de vecteurs.