DE = DF
= OD-OE = .OD-i-OF =
+ îf
SCOLIB.
259. Les deux problèmes précédents permettent de construire les racines de toute équation du second degré à une inconnue, c'est-à-dire de toute équation de la forme •
x^±:px±q z=o,
p eiq étant des nombres positifs quelconques. En effet, des quatre types
x^ ■+- px -h q = 0, x^ — px -h q = o, X* 'i- px — ç = o, x^ — px — q z=o^
le premier se ramène au second, et le troisième au dernier, par le seul changement .de x en —x. Il suffit donc de construire les racines des équations
x^ — px -^ q =: o et x^ — px — q = o.
En mettant ces équations sous la forme
q=zx{p — x), q = x{X'-p),
on voit que, construire les racines de la première, c'est construire deux droites dont la somme esc p et le produit q. De
même, construire les racines de la seconde, c'est construire deux droites dont la différence est p et le produit q. D'après cela, toutes les fois qu'une question de Géométrie, traitée par l'Algèbre, conduira à une équation du second degré, on saura immédiatement construire la solution.
PROBLÈl^fE.
260. Diviser une droite en moyenne et extrême raison [Jig. iSi). ^ ^
Fîff. 181.
On dit qu'un point divise une droile AB en moyenne et extrême raison, lorsque sa distance à Tune des extrémités A de celte droite est moyenne proportionnelle entre sa distance à l'autre extrémité B et la droite AB.
On voit à priori :
i" Que, entre A et P, il existe un point X, et un seul, jouis-
AR
sant de la propriété énoncée. Car, de A en B, le rapport «-r
décroît d'une manière continue de l'infini à i, tandis que le
XA
rapport ^w croît de zéro à l'infini; ainsi, quand le point X se
meut de A en B, le premier rapport diminue, le second augmente, et comme le premier, d'abord supérieur au second, finit par devenir moindre, il y a entre A et B une position de X, et une seule, pour laquelle on a
(i) ïJ'^Ib ^" XÂ'^AB.XB.
2!^ Que, sur le prolongement de AB à gauche du point A, il existe un point X', et un seul, jouissant de la propriété
énoncée. Car, dans cette région, le rapport =t7T ^''^H d'une
manière continue de zéro à l'infini, tandis que le rapport rry^
l68 GÉOHÉTRIB PLANE.
décroît de i à zéro; il y a donc à gauche de A une posilion de X'y et une seule, pour laquelle on a
