OU X^Â' = AB.X'B

3* Que sur le prolongement de AB à droite du point B, il ne peut exister aucun point jouissant de la propriété énoncée. Car la distance d'un point de cette région au point A, étant à la fois plus grande que la distance du point considéré au point B et que la ligne AB, ne saurait être moyenne proportionnelle entre ces deux longueurs.

Ainsi, sur la droite indéfinie qui unit les points A et B, il existe deux points X et X', et rien que deux, qui divisent la droite AB en moyenne et extrême raison : l'un X intérieur, et les deux segments correspondants XA, XB, sont alors additifs: l'autre X' extérieur^ et les deux -segments correspondants X' A, X'B, sont alors soustractifs.

Pour déterminer ces deux points X et X', il suffit de trouver AX et AX'. Or, d'une part, si l'on retranche la relation (i) de la relation (2), on a

X^'-XÂ'^ABCX'B-XB)ou

(X'A-hXA)(X'A-XA) = AB(X'B-XB),

c'esi-à-dire