X'A.XA = AB

Donc, la recherche des droites AX et AX' revient à construire deux lignes dont la différence est égale à AB et dont le

produit est égal à AB ; c'est le problème du n*» 257 dans un cas particulier. De là cette construction :

UTKB III. ~ LBS PIGURVS SBMBLABLBS. 169

Élevez sur AB, à son extrémité B» une perpendiculaire BC égale à la moitié de AB. Du point C comme centre» avec CB pour rayon, décrivez une circonférence; menez AC qui coupe cette circonférence en D et en D'; la droite AD sera l'inconnue AXy et la droite AD' sera l'inconnue AX'. Deux arcs de cercle décrits de A comme centre, avec AD et AD' pour rayons, couperont la droite indéfinie AB aux points cherchés X et X.

SCOUE.

261. En désignant par a la droite AB, et remplaçant dans la formule du n* 258 p par ahlq par a% on trouve

AX .= -(v^5-0, AX' = -(v/5-My.

Il est bon de remarquer qu'on a, d'après cela,

BX =: - (3 - v^5;, BX =: - (3 -+- v''5).

262. Décrire une circonférence passant par deux points donnés et tangente soit à une droite donnée^ soit à un cercle

donné.

Fig. i8!i. Fig. i83.

I* Soient A et B {Jig. 182) les deux points donnés et KL la droite donnée. Prolongeons AB jusqu'au point C où elle rencontre KL. Si T est le point où le cercle inconnu 0 touche cette droite KL,.CT sera la moyenne proportionnelle (201) entre les deux droites connues CB et CA. De là cetle.consiruction :

Menez AB qui coupe KL en C; déterminez la moyenne proporlionnelle entre CB et CA, et portez-la en CT sur la droUe CL. Élevez la perpendiculaire TO sur KL et la perpendiculaire 00' sur le milieu de AB; le point 0 commun à ces deux perpendiculaires sera le centre du cercle cherché.

En portant la moyenne proportionnelle en CT' à gauche de C, on a une seconde solution.

Si AB était parallèle à KL, le point de contact serait sur la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB, et il n'y aurait qu'une solution.

Enfln, il est évident que le problème n'est possible que si les points A et B sont situés d'un même côté de la droite KL.

2" Soient B et C les deux points donnés et 0 la circonférence donnée [fig^ i83). Supposons le problème résolu, et désignons par A le point où le cercle demandé 0' touchq le cercle 0; tout revient à trouver le point M où la tangente AM rencontre la droite BC prolongée. Or, si Ton mène par B et C une circonférence auxiliaire quelconque qui coupe la circonférence 0 en deux points D et E, la corde DE prolongée passera par M. En effet, désignons un moment par e le point où la droite MD coupe la circonférence 0 ; on aura

MD.Me = MÂ' = MB.MC.

Donc (200) le point e est sur le cercle déterminé par les trois points C, B, D, c'est-à-dire sur la circonférence auxiliaire; il ne diffère donc pas de l'intersection E du cercle 0 et de cette circonférence auxiliaire. On déduit de celte analyse la construction suivante :

Par les deux points B et C, menez une circonférence quelconque qui coupe la circonférence donnée 0 en deux points D et E; et du point M, intersection de BC et de ED, menez une tangente MA au cercle 0. Le point A sera le point de contact du cercle 0 et du cercle inconnu, dont le centre 0' se trouvera d'ailleurs à l'intersection de OA prolongée et de la perpendiculaire élevée sur le milieu de BC.

La seconde tangente menée de M au cercle donné 0 donnera une seconde solution.

Si les points B et C étaient équidisiants du centre 0, les

droites BC et D£ seraient parallèles; il suffirait alors de mener au cercle 0 une tangente parallèle à BC; il y aurait encore deu]e solutions.

Enfin, il est évident que le problème n'est possible qu'autant que les points B etC sont tous les deux extérieurs ou tous les deux intérieurs au cercle 0.