VI. - POLYGONES RÉGULIERS

BfiFlNlTIONS.

Un polygone est dit régulier, lorsqu'il a tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux. Tels sont, par exemple, le triangle équilatéral et le carré.

2d4. On nomme ligne brisée régulière toute ligne brisée convexe qui a ses côtés égaux et ses angles égaux.

THÉORÈME

265. On peut toujours inscrire on circonscrire à une circonférence donnée un polygone régulier d'un nombre donné de côtés, •

Fig. .8/,.

Fig. i8j.

Supposons la circonférence divisée en n parties égales, n étant le nombre de côtés que doit avoir le polygone.

1» En menant [fig. i84j, les cordes AB, BC,. . ., qui unissent les points de division, on aura un polygone régulier inscrit de n côtés. En effet, les côtés de ce polygone sont égaux comme cordes d'arcs égaux, et ses angles sont égaux comme inscrits dans des segments égaux; car tout angle ABC du polygone est inscrit dans un segment correspondant à deux divisions consécutives de la circonférence.

2« En menant des tangentes (fig. i85) par les points de di-

l'-jl GÉOMÉTRIE PLANE.

vision A, B, Cy. . ., on aura un polygone régulier circonscril de n côtés. En effet, dans les triangles GAB, HBC,..., les côtés AB, BC,..., sont égaux et les angles en A, B, C,..., formés par une tangente et une corde, sont aussi égaux comme ayant tous pour mesure la moitié d'une division de la circonférence; dès lors les triangles GAB, HBC, ..., sont isocèles et égaux, et Ton a d'une part G = H = K =. . ., et de Tautre AG = GB=BH=rHC=:CK,..., d'où Ton déduit GH=HK=:.... Ainsi le polygone GHK... a ses angles égaux et ses côtés égaux.

D'après cette démonstration, pour avoir le polygone régulier de n côtés circonscrit à un cercle, il suffit de diviser la circonférence en n parties égales et de mener des tangentes par les points de division. Or, les milieux M, N, P,.. ., des arcs AB, BC, CD,. . ., qui sous-tendent les côtés du polygone régulier inscrit (Jig. i85), divisent évidemment la circonférence en n parties é^Ies. On aura donc un polygone régulier circonscrit de n côtés en menant des tangentes par ces points. On préfère souvent cette seconde manière d'opérer, parce que le polygone A'B'C'D' — , ainsi obtenu, a ses côtés parallèles à ceux du polygone inscrit ABCD. . . , et ses sommets A', B', C',. . ., sur les mêmes rayons OAA', OBB',. . ., que les sommets du polygone ABCD.... En effet, d'une part deux côtés tels que BC, B'C, sont parallèles comme perpendiculaires sur la même droite ON, et d'autre part deux tangentes telles que MB', NB', doivent se couper (170) sur la bissectrice OB de l'angle MON.

266. Réciproquement, on peut toujours inscrire et circonscrire une circonférence à un polygone régulier donné.

Soit ABCDEF le polygone régulier donné [fg. i86).

I** Pour démontrer qu'on peut circonscrire une circonfé-

LIVBB IIK — LES FIGURES SEMBLABLES. 178

rence à ce polygone, il suffît de prouver que la circonférence qui passe par trois somnicts consécutifs quelconques A, B, C, passe par le sommet suivant D. Or, soit 0 le centre du cercle déterminé par les trois points A, B, C; menons OA, OD, et la perpendiculaire OH sur BC. Replions le quadrilatère ABUO autour de OH; les angles en H étant droits, BH prendra la direction HC, et le point B tombera en C, puisque BH = HC. Hais le polygone étant régulier, l'angle ABH est égal à Tangle HCD, comme le côté BA au côté CD; par suite, le côté BA prendra la direction CD, et le point A tombera en D. Donc OD est égal au rayon OA, et la circonférence considérée passe par le point D.

2<* Les côtés AB, BC, . . . , étant des cordes égales du cercle circonscrit, les perpendiculaires OH, OG, . . . , abaissées du centre 0 sur ces cordes, seront égales (104>); donc, si du point 0 comme centre, avec OH pour rayon, on décrit une circonférence, chacun des côtés du polygone sera touché en son milieu par cette circonférence, qui dès lors sera inscrite au polygone.

Corollaires.

267. On nomme centre d'un polygone régulier le centre commun 0 de la circonférence inscrite et de la circonférence circonscrite. Ce point, étant à égale distance de tous les côtés et de tous les sommets, est à la fois le point de concours des bissectrices de tous les angles et des perpendiculaires élevées sur les milieux des divers côtés.

On appelle rayon d'un polygone régulier le rayon du cercle circonscrit, et apothème de ce polygone le rayon du cercle inscrit.

On nomme angle au centre d'un polygone régulier l'angle AOB de deux rayons consécutifs ; cet angle est évidemment égal à l'angle (lOH de deux apothèmes consécutifs, et par conséquent est le supplément de l'angle GBH du pol)'gone régulier. D'après cela, si n est le nombre des côtés du polygone, et si l'on prend l'angle droit pour unité, l'angle au centre

vaudra - et l'angle du polygone, 2 — -. On voit ainsi que,

sauf le triangle équilatéral dont les angles sont de 60 degrés.

ei le carré dont les angles sonl droils, lous les polygones réguliers ont leurs angles obtus.

268. On prouverait, par des raisonnements identiques aux précédents, que toute ligne brisée régulière est inscriptible et circonscriptible, et par suite qu'elle a un centre, un apothème et un rayon, qui sont le centre et les rayons des circonférences inscrite et circonscrite. Une ligne brisée régulière ne diffère d'une portion du polygone régulier qu'en ce que son angle au centre n'est pas forcément une partie aliquote de quatre angles droils.

THÉORÈME

269. 1® Deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont semblables,

2? Leur rapport de similitude est égal à celui de leurs rayons ou de leurs apothèmes.

Fig. 187.

En effet :

i" Ces polygones ont les angles égaux, puisque la valeur de l'angle d'un polygone régulier ne dépend que du nombre des côtés (267), et que le nombre des côtés est le même dans les deux figures; de plus, les côtés sont évidemment proportionnels, puisque, dans Tune et l'autre figure, ils sont égaux. Donc, les polygones considérés sonl semblables.

2? Soient {Jfig. 187) AB le côté du premier polygone, 0 son

centre, OB son rayon, OF son apothème; soient de même A'B'

le côté du second polygone, 0' son centre, O'B' son rayon,

et O'F' son apothème. Les triangles rectangles AFO, A'F'O',

sonl semblables (208), puisque les angles FAO, F'A'O', sont

égaux comme moitié des angles égaux ABC, A'B'C (267). On

a donc