AF OA OF

A'F""0'A' ""O'F' mais les polygones proposés étant semblables, leur rapport de

similitude esl égal au rapport des côtés AB, À'B', ou des demi-côtés AF, A'F'; il est donc aussi égal au rapport des rayons OB, 0'B% ou au rapport des apothèmes OF, O'F'.

SCOLIB.

270. Supposons la circonférence divisée en m parties égales; désignons par a la longueur de l'une des parties, et joignons les points de division de /> en /?, à partir de Tun d'eux.

Si p est premier avec m, la circonférence ma et l'arc pa sous-tendu par chacune des cordes successives auront pour plus petit multiple commun pma, et l'on reviendra au point de départ après avoir parcouru p fois la circonférence ou m fois l'arc pa. On aura donc formé ainsi un polygone régulier de m côtés. Par exemple, dans la Jig. 190 où la circonférence est divisée en 10 parties égales, on obtient, en joignant les points de division de i en i, le décagone convexe, et en joignant ces points de 3 en 3 un décagone régulier étoile.

Si p et m, au lieu d'être premiers entre eux, ont un plus grand commun diviseur 0, le plus petit multiple commun de

l'arc pa et de la circonférence ma sera —^ a. On reviendra alors au point de départ après avoir parcouru ^ fois la circonférence ou "û-fois l'arc pa; en d'autres termes, on aura

formé ainsi un polygone régulier de -x côtés, el non plus de

m côtés.

Au premier abord, il semble résulter de là qu'il existe autant de polygones réguliers (convexes ou étoiles) de m côtés qu'il y a de nombres premiers à m dans la suite i, 2,..., m — T. Mais, si l'on remarque qu'en joignant les points de division de p en p, p étant premier à m, on obtient le même polygone qu'en les joignant 6e m — p en m — p, on voit qu'en réalité le nombre des polygones réguliers de m côtés est égal au nombre des entiers premiers à m contenus dans la suite

176 GÉOHeTBlB PLANE.

D'après cela, il n'y a qu'un hexagone régulier; il y a deux pentagones réguliers, deux décagones, quatre peniédécagones, etc.