Inscrire un carré dans un cercle donné {fig

Fjg. 188.

Il suffit évidemment de mener deux diamètres AC et BD perpendiculaires entre eux, et de joindre leurs extrémités, pour avoir le carré demandé ABCD.

Le triangle AOB, rectangle en 0, donne

AB'i=5l'-f-ÔB' = 2 5Â' d'où AB = OA.v/â.

Ainsi, le côté du carré inscrit dans le cercle de rayon ^^est égal à R.^2.

Il convient de remarquer que l'apothème du carré inscrit est égal à la moitié de son côté, et que le côté du carré circonscrit est égal au diamètre du cercle considéré.

Corollaire.

272. Du carré, on passe à l'octogone régulier inscrit en divisant (fig. 188) chacun des arcs AB, BC, CD, DA, en deux parties égales. On déduirait de même de l'octogone le polygone régulier de 16 côtés,..., et ainsi de suite. On peut donc, avec la règle et le compas^ inscrire les polygones réguliers de 4> 8, 16, 32,. . ., et, en général, de 2" côtés.

273. Inscrire un hexagone régulier dans un cercle [Jig> «89). Supposons le problème résolu, et soit ABCDEF l'hexagone

demandé. En menant deux rayons consécutifs OA, 06, on obtient un triangle OAB qui est isocèle, et, par suite, dont les

Fig. 189.

angles A et B sont égaux. Mais, si Ton remarque que le rayon BO prolongé passe par le sommet E de Thexagonc, on voit que l'angle inscrit ABE a pour mesure la moitié de Tare AFE, c'est-à-dire une division de la circonférence; et comme l'angle au centre AOBa aussi pour mesure une de ces divisions AB, les deux angles ABO et AOB sont égaux, et le triangle OAB est équilatéral. Donc, le côté de l'hexagone inscrit dans un cercle est égal au rayon R de ce cercle.

Pour inscrire un hexagone régulier dans un cercle, il suffit, d'après cela, de porter six fois sur la circonférence une ouverture de compas égale au rayon, et de joindre les points de division consécutifs ainsi obtenus.

Corollaires.

274. En joignant de deux en deux les sommets de Thexagone,«on obtienlle triangle équilatéral inscrit ACE. Le triangle rectangle ACI) donne

d'où

AC =AD -CD =4R^-R'z=3RS

AC = Rv3.

Ainsi, le côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle de rayon R est égal à R y'S; son apothème OG est d'ailleurs égal à la moitié du rayon, car la figure ABCO est un losange.