Inscrire un décagone régulier dans un cercle donné
Supposons le problème résolu, c'est-à-dire la circonférence divisée en dix parties égales par les points A, B, C, D, E, F, G, H, K, I.
En joignant les points de division consécutifs, on obtient le décagone régulier convexe ABCDEFGHKI; en joignant les points de division de trois en trois, on obtient le décagone régulier étoile ADGICFKBEH (270). Il s'agit de construire les côtés AB et AD de ces deux décagones.
Fî^j. 191.
AC
Or, en remarquant {Jig. 191) que le rayon BO prolongé passe parle sommet G, on voit que l'angle AMB, dont le sommet est à l'intérieur du cercle, a pour mesure la moitié de l'arc AB, plus la moitié de Tare GD, c'est-à-dire deux divisions de la
circonférence. D'ailleurs, Tangle inscrit ABG a pour mesure la moitié de l'arc A6, c'est-à-dire encore deux divisions; Tangle au centre BOD a aussi celte même mesure. Les deux triangles AHB, DM0, sont donc isocèles, et Ton a
AM = AB, MD = OD ou AD-AM = OD.
D'un autre côté, les angles OMA, DOA, étant égaux comme ayant l'un et l'autre pour mesure trois divisions, les droites OM et OD sont anti-parallèles par rapport à l'angle OAD, et Ton
AD.AM = ÔÂ'.
Les deux relations précédentes montrent que la recherche des côtés AD et AM = AB revient à celle de deux lignes dont la différence est égale au rayon et dont le produit est égal au carré du rayon; on obtiendra donc ces deux côtés {^(}0) en divisant le rayon en moyenne et extrême raison; le plus grand segment additif sera le côté du décagone régulier convexe, et le plus petit segment soustractif sera le côté du décagone régulier étoile.
Si R est le rayon du cercle, on aura (261)
AB = R.^^:^ et AD = R.V^^±1.
Corollaires.
278. La circonférence étant divisée en dix parties égales, en joignant les points de division de deux en deux, on obtient le pentagone régulier convexe ACEGK; en les joignant de quatre en quatre, on trace le pentagone régulier étoile KEKCGiJig. 192 j.
hV . / .'d
Pour calculer les côtés FD et FB ijig. 198) du pentagone
l8o GÉOnÉTRIE PLANE.
régulier convexe et du pentagone étoile, il suffit de remarquer que, si Ton mène le diamètre FA, les cordes AD el AB soni les côtés du décagone étoile et du décagone convexe. Or les triangles rectangles FAD, FAB, donnent
FD = V^4R» - ad', FB = y/4R' ~ AB' ;
d'où, en remplaçant AD et AB par leurs valeurs (277) el réduisant,
FD =1 ^ \/io-2V5 > F* = f Vro4-2v5-
279. Du décagone convexe, on passe au polygone régulier de 20 côtés, puis à celui de 4o>« • •> et ainsi de suite, en prenant chaque fois les milieux des arcs sous-tendus par les côtés du polygone précédent. On peut donc, avec la règle et le compas, inscrire les polygones réguliers de 5, lo, 20, 40,.. -, et en général de 5.2" côtés.
PROBLÈME
280. Inscrire un pentédécagone régulier dans un cet de donné {Jig. 194).
Supposons le problème résolu, c'est-à-dire la circonférence divisée en quinze parties égales par les points A, B, C, D, E, F,G, H,I, K,L, M, N, 0, P.
En joignant les points de division de i en i, de 2 en 2, de 4 en 4» de 7 en 7, on obtient les côtés AB, AO, AE, AI, du pentédécagone convexe et des trois pentédécagones étoiles.
LITBS III. — LES FIGURES SEMBLABLES. l8i
Considérons les côtés AB el AE; Q élant le milieu de Tare CD, on a
arcAQz=(. 4-1)^=1, arcQB = arcQE = ( i + - ) -i; — — .
\ 2/ i5 lO
Donc, pour conslruire AB el AE, il suffit de porter, à partir du point A, une corde AQ égale au côté de l'hexagone, puis à partir de Q, et de part et d'autre de ce point, une corde QB = QE égale au côté du décagone convexe.
Pour calculer AB et AE, abaissons du point Q les perpendiculaires QS et QT sur ces côtés; l'égalité des triangles rectangles QAS et QAT, qui ont l'hypoténuse commune et un angle aigu égal QAS = QAT, donne
