VOX
Côx ^" " = /""
Donc
1" .Si on laisse arbitraires C unité linéaire et l'unité angulaire, un angle quelconque a pour mesure le rapport des nombres d'unités linéaires contenues dans les arcs que rangle considéré et f angle unité interceptent sur une circtmférence quelconque^ décrite fie leur sommet commun comme centre,
i"" Si, sans fixer aucune des deux unités, on les fait correspondre l'une à l'autre, c'est-à-dire si l'on prend pour unité d^arc l'arc intercepté par l'unité d'angle, on a /' = i , et w = /.
Dans ce cas, un angle quelconque a même mesure que l'arc compris entre ses côtés et décrit de son sommet comme centre avec un rayon quelconque; c'est le théorème du n** 136.
3** Souvent, au lieu d'établir la correspondance entre l'unité linéaire et l'unité angulaire, on laisse indéterminée l'unité de longueur, et Ton fixe l'unité d'angle; on prend pour unité angulaire l'angle qui intercepte sur une circonférence quelcompie un arc égal au raj'on. On a alors l' = r, et par suite
&> .-r - ou l = wr.
194 GÊOHfiTBIB PLANS.
Ikuis ce cas y un angle quelconque a pour mesure le rapport <le l'arc qu'il intercepte sur une circonférence quelconque décrite de son sommet comme centre, au rayon de ce cercle, et inversement, Parc est égal à l'angle multiplié par le rayon.
Pour rendre facile la comparaison entre ce mode de mesure et l'évaluation en degrés, minutes et secondes, il suffît de rappeler (295, 2**) que Tangle unité est alors de 5;° 17' 44", 80
Ajoutons enfin que si, après avoir fixé de la sorte Tunité d'angle, on prend de plus le rayon r pour unité de longueur, on établit ainsi la correspondance des unités linéaire et angulaire, et Ton retombe sur la for-
ff
mule » = /. L'angle droit est alors mesuré par - = 1,5707. . . , l'angle
de 45 degrés par 7 , ... , etc.
PROBLÈME
298. Calculer le rapport de la circonférence au diamètre. La formule
(I) Tr = ^
montre que, pour avoir tt, on peut :
Soit se donner le rayon R et calculer la longueur de la circonférence C; c'est la méthode des périmètres;
Soit se donner la circonférence C et calculer le rayon R ; c'est la méthode des isopérimètres.
299. Méthode des périmètres. — Pour R = i, la formule (i) donne-7r = jC; le nombre r est donc égal à la demi -circonférence de rayon i . Par suite, le demi-périmètre de tout polygone inscrit dans celte circonférence est une valeur de tt approchée par défaut, et le demi-périmètre de tout polygone circonscrit est une valeur de tt approchée par excès. Donc, si on calcule, comme au n"* 283, en partant du carré inscrit, les demi-périmètres des polygones réguliers inscrits de 8, 16, Sa,. . ., côtés, les nombres obtenus seront des valeurs par défaut de plus en plus voisines de tt; et de même, si, en partant du carré circonscrit, on calcule, comme au n"* 285 les demipérimètres des polygones réguliers circonscrits de 8, 16, Sa,..., oôtés, on aura des valeurs par excès de plus en plus voisines de ir. Par exen^ple, on trouve (283, 285) pour les deml-pé-
rimètres des polygones réguliers inscrit ei circonscrit de ia8 côtés... 3,14137 et 3, 14228; on conclut de là que tt est compris entre ces deux nombres et que 3,142 est sa valeur à moins d'un millième.
On peut aussi partir de Thexagone et calculer, comme aux n" 283 et 285, les demi-périmètres des polygones réguliers inscrits et circonscrits de 12, 24, 48» • • *> côtés.
Ainsi présentée, la méthode des périmètres est très-laborieuse; mais en revanche elle est très-simple en principe; c'est d'ailleurs la méthode suivie par Archimède, l'illustre géomètre qui vivaità Syracuse 25o ans avant J.-C, et auquel appartient ia gloire d'avoir trouvé le premier le rapport de la circonférence au diamètre. Archimède, en partant de l'hexagone et en s'arrêtant aux polygones inscrit et circonscrit de 96 côtés,
a prouvé que tt était compris entre 3 h et 3 H Ce der-
nier nombre 3 h ou — > qui surpasse tt de moins d un denu-
centième, suffit dans beaucoup d'applications.
Il convient de signaler encore la valeur par excès — r» qui
est due à Adrien Métius, et dont Terreur n'atteint pas un demi* millionième.
Nous allons voir que la méthode des isopérimètres, publiée en 181 3, à Nancy, par le géomètre Schwab, conduit à des calculs beaucoup plus simples; nous reviendrons ensuite sur la méthode des périmètres, pour montrer qu'on peut la présenter de telle sorte qu'elle conduise identiquement aux mêmes calculs que celle des isopérimèlres.
