Tous les angles droits sont égaux
Soient (/g-. 1 3) les deux angles BAC, B'A'C',.qui ont été formes, le premier en élevant la perpendiculaire AB sur AC, le second en élevant la perpendiculaire A'B'sur A'C; ces deux angles sont droits, et il faut démontrer qu'ils sont égaux. Transportons à cet effet la deuxième figure sur la première, de façon que le point A' tombe en A et que le côté A'C s'applique sur AC; le côté A'B' deviendra alors perpendiculaire sur AC au point A : il s'appliquera donc sur AB, puisque par le point A on ne peut élever sur AC qu'une seule perpendiculaire. Donc les deux angles BAC, B' A'C, coïncideront, c'esl-à-dire (9) seront égaux.
SCOLIE
16. L'angle droit est donc un type invariable auquel on peut rapporter les autres angles.
On dit qu'un angle est aigu ou obtus suivant qu'il est plus petit ou plus grand que langle droit. Ainsi, dans h Jig, iiy l'angle E VC est aigu et l'angle EAD est obtus.
Deux angles sont dits complémentaires lorsque leur somme est égale à un angle droit. Ainsi, dans la^g*. 12, chacun des angles BAE, EAC, est le complément de l'autre. Deux angles qui ont des compléments égaux sont égaux.
THÉORÈME
17. Toute ligne droite CD qui en rencontre une autre AB fait avec celle-ci deux angles adjacents ACD, BCD, dont la somme est égale à deux angles droits {Jig. i^).
En effet, si CD est perpendiculaire sur AB, le théorème est évident, puisque les angles adjacents ACD, BCD, sont droits tous les deux.
Si CD est oblique sur AB, les deux angles ACD, BCD, sont inégaux ; soit ACD le plus grand. La perpendiculaire C£, élevée au point C sur AB, tombera dans l'intérieur de cet angle et le décomposera en deux autres ACE et ECD. On aura donc
ACD -f- BCD = ACE -f- ECD -h BCD.
Or l'angle ACE est droit, et la somme ECD 4- BCD est égale à l'angle droit BCE. Donc enfin
ACD -f- BCD = 2 angles droits.
18. On dit que deux angles sont supplémentaires lorsque leur somme est égale à deux angles droits. D'après cela, dans la fig, i4, chacun des angles adjacents ACD, BCD, ebi le supplément de l'autre. Deux angles qui ont des suppléments égaux sont égaux. Pour avoir le supplément BCD d'un angle ACD, il suffit de prolonger l'un des côtés AC au delà du sommet.
19. On nomme réciproque d'une proposition une seconde proposition dont l'hypothèse et la conclusion sont respectivement la conclusion et l'hypothèse de la première. Prenons pour exemple le théorème précédent. On peut l'énoncer de la manière suivante: Si deux angles adjacents ACD, BCD, ont leurs côtés extérieurs AC et BC en ligne droite^ ces angles sont supplémentaires. La réciproque sera : Si deux angles adja-
lO GÉOMËTRIE PLANE.
cents AGI), BCD, sont supplémentaires, leurs côtés extérieurs AC et BC sont en ligne droite.
Pour démontrer celle proposition, il suffit de remarquer que le prolongement de AC doit former avec CD (18) un angle égal au supplément de ACD, c'est-à-dire, à Ciiuse de l'hypothèse, un angle égal à BCD; le prolongement de AC ne diffère donc pas de BC.
On énonce la proposition contraire d'une proposition donnée, en adoptant à la fois une hypothèse et une conclusion opposées à celles de la proposition primitive. Prenons encore pour exemple le théorème précédent. Sa proposition contraire sera : Si deux angles adjacents n'ont pas leurs côtés extérieurs en ligne droite, ces deux angles ne sont pas supplémentaires. En effet, s'ils Tétaient, leurs côtés extérieurs devraient être situés en ligne droite, en vertu de la proposition réciproque.
On voit que la proposition directe. et sa réciproque étant vraies, leurs propositions contraires le sont nécessairement; de même, l'existence d'une proposition directe et de sa contraire entraîne celle de leurs propositions réciproques.
Corollaires.
20. La somme de tous les angles consécutifs ABD, DBE, EBF, FBC, que Von peut former autour du point B d'une droite AC, d'un même côté de cette droite, est égale à deux angles droits (Jig. i5); car leur somme est évidemment la même que celle des deux angles adjacents ABF, FBC.
Fig. i5. Fig. ffi.
21. La somme de tous les angles consécutifs AOB, BOC, COP, DOE, EOA, que l'on peut former autour d'un même point 0, est égale à quatre angles droits {Jig. i6); car en prolongeant OC, par exemple, suivant OC, on voit que celle somme équivaut à celle des angles C'OA, AOB, BOC, situés d'un côlé
de ce, plus celle des angles COD, DOE, EOC, situés de l'autre c5té; et l'on vientdeprouverque chacune de ces deux sommes partielles est égale à deux angles droits.
THÉORÈME
22. Lorsque deux lignes droites AB, DE, se coupent, les angles opposés par le sommet sont égaux [fig* 17).
Fig. 17. Fig. 18.
Soient, par exemple, les deux angles opposés AOE, DOB. Le premier AOE a pour supplément Tangle AOD formé par le côié AO et le prolongement OD du côté OE. Le second BOD a aussi pour supplément l'angle AOD, qui peut être considéré comme formé par le côté OD et le prolongement OA du côté BO. Les deux angles AOE, DOB, ayant même supplément AOD, sont égaux entre eux.
On démontrerait de la même manière l'égalité des angles AOD et BOE.
Corollaires.
23. Lorsque l'un des quatre angles formés par la rencontre de deux droites indéfinies AB et CD est droit, les trois autres sont aussi droits {fig.iS); car, de ce que l'angle ÀOG, par exemple, est droit, il résulte que son opposé DOB doit l'être, ainsi que chacun de ses suppléments AOD et COB.
On voit par là que :
Lorsqu'une droite AO est perpendiculaire sur une autre droite CD, son prolongement OB est aussi perpendiculaire sur la même droite;
Si une droite AB est perpendiculaire sur une autre CD, la seconde Cùest à son tour perpendiculaire sur la première ABi
24. Les bissectrices OE, OF, de deux angles adjacents et supplémentaires AOC, AOD, sont perpendiculaires l'une sur
12 GtOHftTRIB PLANE.
l'autre (fig. 19); car la somme des deux angles AÔC, AOD, étant égale à deux angles droits, celle des angles AOE, AOF,
qui sont respectivement moitié des premiers, est égale à un angle droit.
Les bissectrices OF et OF' de deux angles opposés par le sommet, AOD et BOC, sont dans le prolongement l'une de l'autre (Jig. 19); car chacune d'elles doit être perpendiculaire au point 0 sur la bissectrice OE de l'angle AOC qui est adjacent et supplémentaire par rapport à chacun des angles considérés AOD et BOC.
II résulte de là que les bissectrices des quatre angles déter^ minés par la rencontre de deux droites AB et CD forment deux droites indéfinies EE' et FF', à angle droit l'une sur Vautre,
THÉORÈME
25. Par un point 0 pris hors d'une droite AB, on peut toujours abaisser une perpendiculaire sur cette droite, et on ne peut en abaisser qu 'une {Jig. 20 ).
Fig. ao.
îO
A ~ . Il B
Désignons par 0' le point sur lequel vient s'appliquer le point 0, lorsqu'on plie la figure autour de la droite AB, de manière à en rabattre la partie supérieure sur la partie inférieure. Joignons aux points O et O' un point quelconque I de la droite AB. Les angles adjacents OIB, O'IB, seront égaux; car, si Ton pliait de nouveau la figure autour de AB, 0 venant
LIYRB 1. ~ LA UGPIB DEOITB. l3
sur O' ei I restant fixe, le premier angle recouvrirait exactement le second. D'après cela/pour que la droite 01 soit perpendiculaire sur AB, c'est-à-dire pour que l'angle OIB soit droit, il faut et il suffit que la somme des deux angles adjacents égaux OIB, O'IB, soit égale à deux angles droits; et, par suite, que leurs côtés extérieurs 10, 10', soient en ligne droite. Donc enfin, comme entre 0 et O' il existe toujours une drojte, et une seule, on voit que du point 0 on peut toujours mener une perpendiculaire sur AB, mais une seule.
§ lî. - DES TRIANGLES.
DÉFINITIONS
26. On appelle triangle la portion de plan renfermée entre trois droites qui se coupent deux à deux. La partie de chaque droite comprise entre les points où elle rencontre les deux autres est un côté du triangle. Ainsi la figure ABC {Ji%. 21) est un triangle dont les côtés sont AB, BC, CA. Chacun des angles formés par deux côtés consécutifs est un angle du triangle : les sommets A, B, C, de ces trois angles sont appelés les sommets du triangle.
On dit que deux triangles sont égaux, lorsqu'on peut les appliquer Tun sur l'autre de manière qu'ils coïncident.
FIg. 21. Fîg. 22. Fîg. 9^.
27. Un triangle est isocèle^ quand il a deux côiés égaux : tel est le triangle ABC (Jig. 22), dans lequel AB est égal à AC. Le troisième côté BC prend spécialement le nom de base du triangle isocèle, et le sommet opposé A le nom de sommet du triangle isocèle.
Un triangle est équilatéral, lorsqu'il a ses trois côlés égaux entre eux.
l4 GÉOMfiTRIB PLANBv
£nfin un triangle est dit rectangle, lorsqu'il a un angle droit. Le côté BG {Jig. 23) opposé à l*angle droit A reçoit le nom d'hypoténuse,
28. Dans tout triangle ABC, un côté quelconque BC est moindre que la somme des deux autres AB et AC {fig> 21).
Car la ligne droite BC» étant le plus court chemin entre les points B et C, est moindre que la ligne brisée BA + AC.
29. Dans tout triangle ABC, un côté quelconque BC est plus grand que la différence des deux autres AC et AB. En effet, soit AC le plus grand des deux côtés AC et AB, on aura, d'après le numéro précédent,
BC-i-AB>AC;
d'où, en retranchant AB de part et d'autre, BC>AC-^AB.
30. Trois droites de longueurs arbitraires ne peuvent pas toujours former les trois côtés d'un triangle. Il faut que chacune d'elles soit moindre que la somme des deux autres, ou, plus brièvement, que la plus grande d'entre elles soit inférieure à la somme des deux autres. Par exemple, il n'existe pas de triangle dont les côlés aient des longueurs respeclivement égales à 7 mètres, 5 mètres, i mètre.
THÉORÈME
31. Si deux triangles OBC, ABC, qui ont un côté commun BC, sont compris l'un dans l'autre, la somme des deux côtés OB et OC du triangle enveloppé est moindre que la somme des deux côtés AB et AC du triangle enveloppant (fig, %^).
En effet, prolongeons BO jusqu'au point D où cette droite rencontre le côté AC. En remplaçant la ligne droite OC par la
ligne brisée OD -f- DC, on change la somme OB 4- OC en une autre plus grande
OB -f OD -f- DC ou BD 4- DC.
De même, en remplaçant la ligne droite BD par la ligne brisée AB + AD, on change la somme QD + DC en une autre
AB-4-AD-hDG ou AB-+-AC,
qui est plus grande encore. On a dorx
0B4-0C<AB-f-AC.
SCOLIB.
32. Lorsque deux triangles O'BC, ABC, qui ont un côté commun BC, s'entrecoupent, la somme des deux côtés AB et O'C qui ne se croisent pas est moindre que la somme des deux côtés AC et 0' B qui se croisent {Jig. i\ ).
En effet, on a dans le triangle ABD
